¿Puedes probar la siguiente igualdad? [matemáticas] {e ^ {ix} = \ cos (x) + i \ sin (x)} [/ matemáticas]

[matemáticas] Let, y = cosx + isinx [/ matemáticas]

[matemáticas] entonces, dy / dx = -sinx + icosx = i (cosx + isinx) = iy [/ matemáticas]

[matemáticas] entonces, 1 / y * dy / dx = i [/ matemáticas]

[matemática] entonces, lny = ix + C [/ matemática] [integrando con respecto a x]

[matemáticas] en, x = 0, lny = 0. Entonces, C = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] entonces, lny = ix [/ matemáticas]

[matemática] entonces, y = [/ matemática] e ^ ix

Esto hace que: e ^ ix [matemáticas] = cosx + isinx [/ matemáticas] [Probado]

Dejar,

[matemáticas] \ begin {align} z & = \ cos x + i \ sin x \ cdots (1) \\ \ implica -z & = i (i \ cos x – \ sin x) \\ \ implica – \ dfrac { \ mathrm dz} {\ mathrm dx} & = i (-i \ sin x – \ cos x) \\ \ implica – \ mathrm dz & = -i (\ cos x + i \ sin x) \ mathrm dx \\ \ implica \ mathrm dz & = iz \, \ mathrm dx \, \ quad \ left [\ text {From (1)} \ right] \\ \ implica \ dfrac {\ mathrm dz} {z} & = i \ mathrm dx \\ \ implica \ displaystyle \ int \ dfrac {\ mathrm dx} {z} & = \ displaystyle \ int i \, \ mathrm dx \\ \ implica \ ln z & = ix + C \ cdots (2) \ end {alinear} [/ matemáticas]

Ahora, si [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto (1) \ implica z & = \ cos 0 + i \ sin 0 = 1 \\ \ implica \ ln z & = 0 \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} (2) \ implica 0 & = 0 + C \\ \ implica C & = 0 \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} (2) \ implica \ ln z & = ix \\ \ implica z & = e ^ {ix} \\ \ implica e ^ {ix} & = \ cos x + i \ sin x \ end {align} [/ math]

Bonificación extra: Pon [math] x = \ pi [/ math] y mira qué sucede.

Compare la serie de potencia para [matemática] e ^ {iz} [/ matemática] y [matemática] \ cos (z) + i \ sin (z) [/ matemática] que se sabe que convergen incondicionalmente para toda [matemática] z \ en \ mathbb {C} [/ math]. Esto significa que sus términos se pueden reorganizar sin cambiar la suma.

[matemáticas] e ^ {iz} = 1 + \ frac {iz} {1!} – \ frac {z ^ 2} {2!} – \ frac {iz ^ 3} {3!} + \ frac {z ^ 4} {4!} + \ Frac {iz ^ 5} {5!} – \ frac {z ^ 6} {6!} – \ frac {iz ^ 7} {7!} + \ Frac {z ^ 8} {8!} + \ Cdots [/ math]

[matemáticas] = \ big [1- \ frac {z ^ 2} {2!} + \ frac {z ^ 4} {4!} – \ frac {z ^ 6} {6!} + \ frac {z ^ 8} {8!} – \ cdots \ big] \ + \ i \ big [\ frac {z} {1!} – \ frac {z ^ 3} {3!} + \ Frac {z ^ 5} {5 !} – \ frac {z ^ 7} {7!} + \ cdots \ big] [/ math]

[matemáticas] = \ cos (z) + i \ sin (z) [/ matemáticas]

Aquí hay una prueba un poco más avanzada, utilizando ideas de la teoría de Lie: la función [math] t \ mapsto e ^ {it} [/ math] es un homomorfismo diferenciable de [math] \ mathbb {R} [/ math] a [math ] \ mathbb {C} ^ * [/ math], los números complejos invertibles. Puede probar (lo que no haré aquí) que cada mapa, que se llama un subgrupo de un parámetro, tiene la forma [math] t \ mapsto e ^ {zt} [/ math] para algunos [math] z \ in \ mathbb {C}. [/ math] Ahora puede recuperar [math] z [/ math] tomando la derivada del mapa en [math] t = 0 [/ math], ya que la derivada es [math] ze ^ {zt} [/ math].

Ahora usando identidades trigonométricas estándar para [math] cos (t + s) [/ math] y [math] sin (t + s) [/ math], puede probar que el mapa [math] t \ mapsto cos (t) + isin (t) [/ math] es un homomorfismo diferenciable, y que la derivada en [math] t = 0 [/ math] es [math] i. [/ math]

Hay una discusión deliciosa de esta fórmula por Richard Feynman en sus Lecture Notes on Physics, volumen 1, capítulo 22 “Álgebra”. Para un acceso gratuito en la red, solo búscalo.

Otra explicación comenzaría con una observación de que el argumento de un número complejo de valor absoluto 1 es una especie de logaritmo, ya que cuando multiplicamos 2 tales números agregan sus argumentos (vea el comienzo de la parte 2 de http: //bookstore.ams. org / mcl-17 para una buena exposición). Este logaritmo resulta ser la parte imaginaria del logaritmo natural, por lo que e ^ {it} = cos (t) + i * sin (t)

Espero que esto ayude 🙂

Gracias por leer

Esto, en realidad, es evidente por sí mismo. La serie de potencia exponencial, más o menos, se divide automáticamente en dos con una entrada puramente imaginaria [math] ix [/ math].

[matemáticas] \ displaystyle e ^ {ix}: = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {i ^ {2n} x ^ {2n}} {(2n)!} + \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {i ^ {2n + 1} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} [/ math]

Estas, de hecho, son las series trigonométricas definitorias, por lo tanto, no se necesitan pruebas La advertencia con esto es [matemáticas] i ^ {2n} = (-1) ^ n [/ matemáticas] alternando en signo, por supuesto.

Eche un vistazo a la respuesta a esta pregunta, más bien relacionada: Una e para una i y una pi para una menos I por Peter James Thomas en Peter James Thomas en Data

Gracias por el A2A!

Vea mi respuesta más votada c:

Sí, puedo. Lo hago considerando las expansiones de la serie Taylor para cada una de las funciones.