Imagine que tiene una función con la siguiente propiedad: [math] f (x + y) = f (x) f (y) [/ math] para todos [math] x, y [/ math] en reales. ¿Qué puedes decir sobre esa función?
Es fácil verificar las siguientes propiedades:
- [matemática] f (0) = 1 [/ matemática] porque [matemática] f (x) = f (x + 0) = f (x) f (0) \ implica f (0) = 1 [/ matemática]
- [matemáticas] f (nx) = f (x + x + \ puntos + x) = f (x) f (x) \ puntos f (x) = f (x) ^ n [/ matemáticas]
Es bastante fácil ver que, cuando restringe [matemática] x [/ matemática] a enteros, entonces [matemática] f (x) = a ^ x [/ matemática] para cualquier [matemática] a> 0 [/ matemática].
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Su pregunta es, entonces, ¿qué significa para [matemáticas] f (a / b) [/ matemáticas]?
Mire nuestra propiedad definitoria: [math] f (x + y) = f (x) f (y) [/ math], y establezca [math] x, y = 1/2 [/ math], para obtener [math ] a = f (1) = f (1/2 + 1/2) = f (1/2) f (1/2) = f (1/2) ^ 2 = f (2 * 1/2) = f (1) = a [/ matemáticas]. Entonces [matemática] f (1/2) [/ matemática] es el número que, cuando se eleva a la segunda potencia, es [matemática] f (1) [/ matemática]. En otras palabras, la raíz cuadrada de [matemáticas] f (1) [/ matemáticas].
Se puede hacer el mismo argumento para cualquier argumento recíproco: [matemática] f (1) = f (n / n) = f (n \ times1 / n) = f (1 / n) ^ n \ implica f (1 / n ) = \ sqrt [n] {f (1)} [/ math].
Esto puede extenderse a cualquier número racional: [matemática] f (a / b) = f (1 / b) ^ a = \ sqrt [b] {f (1)} ^ a [/ matemática]. ¿Tiene sentido esto para ti?
Para redondear las cosas, veamos también los argumentos negativos: [matemáticas] 1 = f (0) = f (aa) = f (a) f (-a) \ implica f (-a) = \ frac {1} { f (a)} [/ matemáticas]
O, de manera equivalente, [matemáticas] f (-a) = f (-1 \ veces a) = f (a) ^ {- 1} [/ matemáticas]. Es bueno que las dos formas de calcular [math] f (-a) [/ math] den el mismo valor. Nos da confianza de que lo que estamos haciendo tiene sentido.
Entonces, toda la razón por la cual los poderes racionales de los exponentes se definen de la forma en que se deben a un fuerte deseo de preservar la relación muy importante [matemáticas] a ^ {x + y} = a ^ xa ^ y [/ matemáticas].
Extender esto a exponentes reales es un poco más complicado, y hacerlo correctamente requiere elegir una definición de reales. La idea básica es que si [matemática] x \ aprox a / b [/ matemática], entonces [matemática] c ^ x \ aprox c ^ {a / b} [/ matemática], y entonces si [matemática] \ lim_ { n \ to \ infty} a_n / b_n = x, c ^ x = \ lim_ {n \ to \ infty} c ^ {a_n / b_n} [/ math].
¡Para extenderlo a números complejos, ayuda usar la identidad [matemáticas] e ^ x = x ^ 0/0! + x ^ 1/1! + x ^ 2/2! \ dots [/ math], que se puede demostrar que tiene las propiedades deseadas de exponenciación. En cuyo caso, [matemáticas] e ^ i = i ^ 0/0! + i ^ 1/1! + i ^ 2 + 2! + \ dots = 1 + i-1/2-i / 6 + \ dots \ aprox 0.54 + 0.84i [/ math].
