¿Por qué [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas]?

[matemática] i ^ 2 = -1 [/ matemática], porque [matemática] i [/ matemática], por definición, es igual a [matemática] \ sqrt {-1} [/ matemática].

Desde la escuela, sabes que [matemáticas] (\ sqrt {a}) ^ 2 = a; a \ in \ R [/ math], y aquí [math] a = -1 [/ math], entonces sustituimos y obtenemos [math] i ^ 2 = (\ sqrt {-1}) ^ 2 = -1 [/matemáticas].
Por lo tanto [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas].

¿Por qué definimos [math] i [/ math] como [math] \ sqrt {-1} [/ math]?
Simplemente porque queríamos tener soluciones para ecuaciones como [matemáticas] x ^ 2 = -1 [/ matemáticas].

Si nos fijamos en esta ecuación polinómica

[Matemáticas] x ^ 2 + 1 = 0 [/ Matemáticas]

Como el cuadrado de cualquier número real es positivo y, por lo tanto, la suma con uno nunca puede ser igual a cero.

No hay un número real que satisfaga esta ecuación. Y por lo tanto, sir Gerolamo cardano inventó una nueva serie de números llamada números complejos.

Si trabajas en la ecuación anterior como ,

[Matemáticas] X ^ 2 = -1

X = (- 1) ^ (1/2)

Deja que esta x sea i.

Por lo tanto, i ^ 2 = -1 [/ Math]

La pregunta es defectuosa, me temo.

Así es como definimos i:

[matemáticas] i = sqrt (-1) [/ matemáticas]

¿Por qué es esto cierto? Porque lo definimos de esa manera.

De esto se deduce que:

[matemáticas] i ^ 2 = (sqrt (-1)) ^ 2 = -1 [/ matemáticas]

Sin embargo, no se preocupe, todos hacemos preguntas defectuosas a veces, el otro día me preguntaba por qué en física:

[matemáticas] W = Fd [/ matemáticas]

y el problema con esta pregunta es el mismo que el tuyo, eso es lo que definimos como trabajo realizado. Sucede que la capacidad de hacer trabajo siempre se conserva.

Por qué es necesario un número como [math] i [/ math] es una historia diferente.

El número “i” se define como parte de la base compleja de números, C. Se define como [math] sqrt (-1) [/ math] y es representativo de cualquier raíz cuadrada de un número negativo “-n” por [matemáticas] i • sqrt (n) [/ matemáticas].

Por ejemplo, [math] sqrt (-4) = i • sqrt (4) = 2i. [/ Math]

Por lo tanto, si tuviéramos que cuadrar ambos lados del ejemplo anterior,

[matemáticas] (sqrt (-4)) ^ 2 = (i ^ 2) ((sqrt (4)) ^ 2) = (2i) ^ 2 [/ matemáticas], y obtenemos

[matemáticas] -4 = (-1) (4) = (4 * -1) = -4. [/ matemáticas]

Esto se puede generalizar a saber i = sqrt (-1).

Bueno, lo hace por definición.

Para algunos comentarios sobre por qué elegimos dicha definición, puede obtener la versión de Cliff’s Notes aquí en Quora en: Los números tienen vida; no son solo símbolos en papel. por Peter James Thomas sobre Peter James Thomas sobre Datos: desplácese hacia abajo hasta Números complejos (o lea la prosa fluida y las ideas profundas que conducen a esto).

Para un tratamiento más discursivo, intente: Vislumbres de simetría, Capítulo 7 – Acorazados imaginarios y Capítulo 11 – Raíz del problema.

Esto es similar a preguntar por qué -1 + 1 = 0?

-1, o cualquier otro número negativo, es un concepto inventado por los matemáticos para realizar cálculos matemáticos que de otra forma serían imposibles.

¿Puedes hacer un dibujo de 4 cachorros? Estoy seguro de que puedes, ahora, ¿puedes dibujar una imagen de -4 cachorros? Los números negativos no existen, excepto en el sentido matemático.

Ahora que sabemos que los matemáticos inventan números para llevar a cabo cálculos imposibles, examinemos la raíz cuadrada de uno negativo.

¿Cuál es la raíz cuadrada de la negativa? ¿Es (+1)? No, (+1) (+ 1) = 1. ¿Es (-1)? No, (-1) (- 1) = 1. Tenemos un cálculo imposible. Entonces los matemáticos inventaron la raíz cuadrada de -1 y la definieron como i. Entonces, como consecuencia de esta definición ( i ) ^ 2 = -1.

¿Por qué es [math] ~ \ bf {i ^ 2 = -1?} [/ Math]

Porque [math] \ text {i} [/ math] se define como una de las raíces cuadradas de [math] -1. [/ Math]

Publiqué una respuesta breve y hermosa a esta pregunta en el sitio web BillyLeePontificator titulada, ¿Qué es la matemática?

Multiplicar cualquier número por “i” gira el número en sentido antihorario en un círculo unitario por 90 grados, que es [matemática] \ frac {\ pi} {2} [/ matemática] radianes. Como “i” se encuentra (por definición) en [matemática] \ frac {\ pi} {2} [/ matemática] radianes (90 grados), la rotación de 90 grados lleva el número a [matemática] \ pi [/ matemática] radianes, que es -1 en un círculo unitario.

Esto tiene que ver con propiedades exponentes. i se define como la raíz cuadrada de la negativa, que puede reescribirse como i ^ (1/2). De hecho, cualquier raíz puede expresarse como x ^ 1 / (cualquiera que sea la raíz). En cuanto al exponente, elevar un exponente a otro exponente a menudo se expresa en una forma matemáticamente equivalente que se alcanza multiplicando los dos exponentes. En este caso, quedaría con i ^ ((1/2) * 2) o i ^ (2/2). Sustituyendo i por su valor real en este punto nos deja con -1. ¡Espero que esto ayude!

Escribí la respuesta en el memo de mi móvil ☺ pero no pude copiar lo mismo. Por lo tanto, estoy poniendo sus capturas de pantalla.

Esperamos que esto sea útil.

Hecho.

Esta es una función “creada” para dar a cada cuadrático una raíz / solución. Pero tiene otros usos: – para describir puntos en un plano. La multiplicación por i ^ 2 mueve un punto (s) a través de 180 grados.

i ^ 2 = -1?

si

¿Por qué?

Porque es un hecho clave. Solo memorízalo tal como está. Probablemente pueda aparecer en las pruebas estandarizadas o algo así.

Así como y = mx + c donde c es la constante. Preocúpate menos por demostrarlo. Es matemática, amigo.

Por definición. El número [math] i [/ math] se define para tener la propiedad [math] i ^ 2 = -1 [/ math].

Porque yo se define de esa manera.

i es la abreviatura de “una de las raíces cuadradas de la negativa” (con -i es la otra, y sí, es arbitrario cuál es cuál, siempre y cuando sea coherente, las matemáticas se combinan).

Es más fácil de escribir, teniendo en cuenta la frecuencia con la que aparece y lo importante que es un número.

Decimos que i ^ 2 = 1, pero también puedes decir que j ^ 2 = 1 …… solo usamos esta letra para representar la raíz de la ecuación x ^ 2 + 1 = 0

Porque la raíz cuadrada de -1 es i. Si hace lo contrario de una operación, siempre regresa a donde comenzó.

Porque decimos que sí.