En un análisis real, si está trabajando con espacios que tienen una noción de vecindario, entonces tiene una noción de convergencia.
El espacio más simple con una noción de convergencia sería un espacio topológico. Otro ejemplo es un espacio métrico. Este espacio está equipado con una función de distancia llamada métrica. Con una métrica puedes definir qué es un vecindario.
Digamos que el conjunto para su espacio es [matemáticas] X [/ matemáticas]. Una secuencia se define como una función de los naturales en [matemática] X [/ matemática], [matemática] x: \ mathbb {N} \ rightarrow X [/ matemática]. Por lo general, puede hablar sobre secuencias sin tener que pensar en esta función debido a la notación utilizada para ellas. Esta secuencia se denotaría con [math] (x_n) [/ math] o [math] \ {x_n \} _ n [/ math]. He visto cualquiera de los dos usados. No creo que uno sea más correcto que el otro.
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La secuencia [matemática] \ {x_n \} _ n [/ matemática] converge a [matemática] x \ en X [/ matemática] si para cualquier vecindad [matemática] U [/ matemática] de [matemática] x [/ matemática] allí existe [math] n_0 \ in \ mathbb {N} [/ math] tal que [math] x_n \ in U [/ math] por cada [math] n> n_0 [/ math].
No tengo una manera de mostrar esto gráficamente en este momento, pero espero que eso ayude con la primera parte de la pregunta.
