Abhijeet Borkar cubierto los temas estándar que son útiles, y no tengo argumentos con su lista sea el típico conjunto de temas. Sin embargo, dado que la cuestión es lo que uno de los principales matemáticas física debe aprender, voy a poética de cera por un segundo acerca de la probabilidad, procesos estocásticos, y la teoría de la información.
En mi experiencia, esta es el área con la que muchos estudiantes de posgrado en física carecen de experiencia práctica y, a diferencia de gran parte de las matemáticas en física, su intuición lo meterá en muchos problemas, muy rápidamente. La probabilidad es notable por sus escollos; ejemplos simples incluyen el problema de Monty Hall y otros pequeños enigmas. Pero la probabilidad es mucho, mucho más involucrados (y mucho más fundamental) que estos pequeños ejemplos llevan a creer.
Tomemos por ejemplo los procesos de Poisson. Aparecen en todas partes: estimaciones de errores en física experimental, estadísticas de recuento de fotones de una fuente de luz coherente (es decir, un láser), en todas partes en mecánica estadística, defectos en física de estado sólido, teoría de colas, etc. Su dinámica es simple en algunos niveles – son sin duda el proceso estocástico más sencilla – pero aplicando de manera adecuada no es algo que sólo puede recoger en el lateral. Mi ejemplo favorito de esto es la siguiente pregunta: “condicionado a un cierto número de llegadas en un intervalo de tiempo dado, ¿cuál es la distribución de los tiempos de llegada? En otras palabras, si sé que contó cinco fotones en el último nanosegundo, lo que puedo decir acerca de la distribución de probabilidad de los tiempos de llegada dentro de esa ventana? Resulta, y no es particularmente fácil de probar, que esta distribución es uniforme. Esto es fácil de aplicar, pero que sería poco probable que adivinar que es verdad si no ha estudiado los procesos estocásticos.
Aún más importante es la cuestión de cómo construir modelos estocásticos del universo. Es todo muy bien para decir que algo es, probablemente, Gauss o probablemente de Poisson, pero ¿por qué debería ser que el modelo correcto? Este es el beneficio real de estudiar la teoría de la probabilidad; que necesita un buen conocimiento de donde las distribuciones de probabilidad vienen, y cómo derivar sus propiedades, para poder ver sus firmas en el mundo. Volviendo al proceso de Poisson por un momento, hay una variedad de formas de definirlo, incluido el límite de un proceso de Bernoulli (un proceso discreto con intervalos de tiempo discretos) y simplemente estableciendo la distribución entre llegadas en tiempo continuo.
Si vas a hacer física teórica o experimental, vas a interactuar constantemente con estos temas. La mecánica cuántica y la computación cuántica requieren ampliaciones de la teoría de probabilidades classcial y la teoría clásica de la información, tal como lo requieren las ampliaciones de la mecánica clásica y la informática. Y así como necesita estudiar mecánica clásica y computación clásica para contribuir a esos campos, necesita saber de dónde provienen las matemáticas para poder comprender los efectos de las extensiones cuánticas. Y, por el lado experimental, la comprensión correcta y modelado de ruido y otras inexactitudes experimentales es esencial para hacer el trabajo bien.
No lo he incluido explícitamente todavía, pero debe decirse como una motivación final: la teoría de la información es la piedra sobre la que se sienta la mecánica estadística. Puede derivar (reinterpretar) casi todo el stat mech y la termodinámica a partir de principios teóricos de la información, típicamente (en mi opinión) de una manera mucho más limpia que las ondas manuales que se ven típicamente en el curso introductorio.
