Para los estados ligados de la ecuación de Schrodinger, ¿la solución del estado fundamental posee necesariamente la simetría del potencial (suponiendo que el potencial se porte bien)? Si es así, ¿hay algún argumento o prueba?

Estoy bastante seguro de que puede hacerlo siempre que pueda resolver la ecuación de Schrödinger separando las variables. Por ejemplo, si tiene [math] \ Psi (x, y) = \ psi (x) \ varphi (y) [/ math] y el potencial es simétrico en x e y, entonces ambos componentes son simétricos o antisimétricos en X y Y.

Esto no es una prueba en absoluto, pero lo pienso de esta manera: si el potencial es simétrico [math] v (\ mathbf {r}) = v (- \ mathbf {r}) [/ math], entonces hay no hay forma de que una partícula ‘prefiera’ estar en ambos lados, por lo que debemos tener [math] | \ Psi (\ mathbf {r}) | ^ 2 = | \ Psi (- \ mathbf {r}) | ^ 2 [/ math], que es cierto para [math] \ Psi (\ mathbf {r}) = \ pm \ Psi (- \ mathbf {r}) [/ math]

La respuesta es sí, para sistemas bosónicos de potencial puro de dimensión finita (sin campo magnético) con un potencial que es en todas partes finito.

Una prueba conceptual es notar que esto se deduce de la unicidad de la medida estacionaria para las cadenas ergódicas de Markov, ya que la ecuación de Schrodinger en tiempo imaginario es un proceso estocástico con el estado fundamental de la medida estacionaria. Pero no necesitas ser tan sofisticado.

El argumento del físico para esto es del principio variacional. Un estado fundamental de una ecuación de Schrodinger en un potencial (sin campo magnético) es real, por simetría de inversión de tiempo (puede agregar cualquier estado a su conjugado complejo, que necesariamente se degenera con él). No puede tener cambio de signo, ya que el estado fundamental minimiza

E = [matemáticas] \ int | \ nabla \ psi | ^ 2 + V (x) | \ psi | ^ 2 [\ matemáticas]

Si psi tiene un cambio de signo. Entonces | psi | tendrá exactamente la misma E, las mismas contribuciones de energía potencial y cinética, pero tendrá un doblez en los ceros de psi, y cuando redondees el doblez, bajarás la energía cinética a primer orden mientras solo cambias la energía potencial a segunda orden (suponiendo que V es no singular). El estado fundamental debe ser distinto de cero en todo el espacio para un potencial que es en todas partes finito (en términos de la cadena de Markov, hay una densidad de probabilidad distinta de cero de visitar cada punto).

Ahora, si tiene dos estados fundamentales diferentes, alguna combinación lineal real de estos será negativa y no puede ser un estado fundamental. Estos son argumentos clásicos de la ecuación de Schrodinger de las décadas de 1920 y 1940. No son completamente rigurosos como se indicó, pero puede hacerlos rigurosos con las declaraciones análogas de la cadena de Markov.

Dado que el estado fundamental de la ecuación de Schrodinger n-dimensional no es degenerada, debe ser invariable bajo la simetría. Este teorema a veces se conoce como “no se rompe la simetría espontánea en dimensiones finitas”. Es el análogo cuántico del teorema de la mecánica estadística de transiciones sin fase en volumen finito, más precisamente, sin transiciones de fase con un número finito de grados de libertad.

El teorema falla de maneras obvias para los sistemas de potencial de múltiples partículas fermiónicas, y no para los sistemas de potencial de dimensiones infinitas. En el caso de dimensiones infinitas, puede considerar una aproximación discreta a un campo bosónico con ruptura espontánea de simetría. Para un sistema fermiónico, puede considerar un potencial nuclear de 1 / r con tres electrones no interactuantes sin espín pegados. El primer electrón debe estar en el estado fundamental 1S, el segundo electrón está en el estado 2S, el tercero está en el estado 2P, por lo que el estado fundamental es degenerado (y tampoco simétrico bajo rotaciones). Hay muchos contraejemplos fermiónicos fáciles, incluso en 1d, porque los fermiones no están en el estado fundamental del operador de Schrodinger, porque están restringidos a estados antisimétricos.

El conjunto de todas las soluciones de estado fundamental necesariamente tendrá esa simetría, pero no es necesario que sea un estado fundamental individual. La ruptura espontánea de simetría es el ejemplo estándar. Toma un imán permanente. Está en el estado fundamental y es simétrico en el sentido de que la orientación magnética podría pilotar en cualquier dirección. Sin embargo, en realidad solo puede apuntar en una dirección.

La partícula de Higgs también tiene ese potencial y es un elemento importante de por qué el valor de la expectativa de vacío de Higgs no es cero.