Hay muchas nociones diferentes de infinito utilizadas en matemáticas.
Cardenales: Si [math] \ infty [/ math] representa la cardinalidad de un conjunto infinito [math] S [/ math], entonces [math] \ infty + 1 [/ math] podría representar la cardinalidad de la unión disjunta de [ math] S [/ math] con un conjunto con un elemento. Luego, según el teorema de Schroeder-Bernstein, [math] \ infty + 1 = \ infty [/ math]. Es decir, para cualquier conjunto infinito [matemática] S [/ matemática], hay una biyección de [matemática] S [/ matemática] a [matemática] S \ cup \ lbrace a \ rbrace [/ matemática].
Ordinales: si [math] \ infty [/ math] representa un ordinal infinito, un conjunto infinito [math] S [/ math] con un buen orden, entonces en la aritmética ordinal habitual, [math] \ infty + 1 [/ math] representa el ordinal más pequeño más grande que [math] \ infty [/ math], [math] S \ cup \ lbrace a \ rbrace [/ math] con el orden que [math] \ forall s \ en S, s <a [/ math] y luego [math] \ infty <\ infty + 1 [/ math]. La suma ordinal no es conmutativa, y [matemática] 1+ \ infty \ ne \ infty + 1. [/ matemática] De hecho, [matemática] 1+ \ infty = \ infty [/ matemática] cuando [matemática] \ infty [/ math] representa cualquier ordinal infinito. Hay una biyección que respeta el orden entre [math] \ lbrace 0 \ rbrace \ cup \ mathbb {N} [/ math] y [math] \ mathbb {N}. [/ Math]
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Límites: si [math] \ lim_ {x \ to a} f (x) = \ infty [/ math] entonces [math] \ lim_ {x \ to a} (f (x) +1) = \ infty [/ matemáticas]. Sería razonable decir que en esta configuración, [math] \ infty + 1 = \ infty [/ math]. Está menos claro qué significa [matemática] \ lim_ {x \ to \ infty + 1} f (x) [/ matemática], en todo caso.
Entonces, [math] \ infty + 1 [/ math] no tiene un significado universal. En algunos sistemas, [math] \ infty + 1 = \ infty. [/ Math] En otros, [math] \ infty + 1 \ ne \ infty. [/ Math] Tienes que decidir qué quieres decir con [math] \ infty [/ math], y luego deberías poder determinar qué significa algo [math] \ infty + 1 [/ math].
