Tenemos aquí un problema simétrico, con la misma aceleración y desaceleración. Llamemos al tiempo del marco de referencia (Tierra) y [math] \ tau [/ math] al tiempo apropiado en el cohete. Deje g ser la aceleración. Usaré unidades naturales (c = 1) en los cálculos.
TL; DR:
[matemáticas] \ displaystyle t = \ frac {1} {g} \ sinh (g \ tau) [/ matemáticas]
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Esto es para una aceleración general g, por lo que puede calcular si lo desea con diferentes aceleraciones y desaceleraciones.
Versión detallada:
Deje [math] \ vec {g} = g \ cdot \ hat {z} [/ math] por simplicidad.
Haremos uso de los siguientes invariantes de Lorentz:
[matemáticas] \ displaystyle U ^ {\ mu} U_ \ mu = -1 = – \ left (U ^ {0} \ right) ^ {2} + \ left (U ^ {z} \ right) ^ {2} [/matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle g ^ {\ mu} U_ \ mu = 0 = -g ^ 0U ^ 0 + g ^ zU ^ z [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle g ^ {\ mu} g_ \ mu = g ^ 2 = – \ left (g ^ 0 \ right) ^ 2 + \ left (g ^ z \ right) ^ 2 [/ math]
Del segundo obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle g ^ 0 = g ^ z \ frac {U ^ z} {U ^ 0} [/ matemática]
Luego, sustituyendo esto en el tercero:
[matemáticas] \ displaystyle \ left (g ^ z \ right) ^ 2 \ left (1- \ left (\ frac {U ^ z} {U ^ 0} \ right) ^ 2 \ right) = g ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle g_z ^ 2 \ left (U_0 ^ 2 – U_z ^ 2 \ right) = g ^ 2 U_0 ^ 2 [/ math]
Donde acabo de poner los índices z y 0 para dejar espacio para la potencia 2. Observe que el último término entre paréntesis es menos el primer invariante: 1. Por lo tanto, tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle a_z = gU_0 \ Rightarrow \ frac {dU_z} {d \ tau} = gU_0 [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle a_0 = gU_z \ Rightarrow \ frac {dU_0} {d \ tau} = gU_z [/ math]
Derivando nuevamente en [math] \ tau [/ math]:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d ^ 2U_z} {d \ tau ^ 2} = g \ cdot gU_z [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d ^ 2U_0} {d \ tau ^ 2} = g \ cdot gU_0 [/ matemáticas]
Si consideramos que empezamos todavía:
[matemáticas] \ displaystyle U_z (0) = 0, \, \, U_0 (0) = 1 [/ matemáticas]
Luego, resolviendo esas ecuaciones diferenciales simples obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle U_z (\ tau) = \ sinh (g \ tau) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle U_0 (\ tau) = \ cosh (g \ tau) [/ math]
Y:
[matemáticas] \ displaystyle z (t) = \ int_ {0} ^ {\ tau} \ sinh (g \ tau) = \ frac {1} {g} [\ cosh (g \ tau) -1] [/ matemáticas ]
[matemáticas] \ displaystyle t = \ frac {1} {g} \ sinh (g \ tau) [/ matemáticas]
En unidades naturales, como podemos ver en la última ecuación, g tiene unidades de tiempo [matemático] ^ {- 1} [/ matemático], siendo 1g = 9.8m / s ^ 2:
[matemáticas] \ displaystyle 1g = 9.8 m / s ^ 2 \ rightarrow g = \ frac {9.8} {c} = \ frac {9.8} {3 \ cdot10 ^ 8} = 3.27 \ cdot 10 ^ {- 8} s ^ {-1} = 1.03 \, años ^ {- 1} [/ math]
Así que simplemente ponga t ot [math] \ tau [/ math] en la ecuación y obtenga el otro. En este caso particular, el tiempo es de 2 · años (no especificado si está en el marco del cohete o en la Tierra, úselo a voluntad).
Entonces, si desea olvidarse de las unidades naturales, simplemente use:
[matemáticas] \ displaystyle t = \ frac {c} {g} \ sinh (\ frac {g} {c} \ tau) [/ matemáticas]
Ejemplos rápidos con 1g de aceleración (y desaceleración):
Tiempo en la Tierra, tiempo en el cohete
1 año 0,88 años
1o años 2.94 años
100 años 5,17 años
1 millón de años 14.11 años
Entonces, como vemos, una aceleración continua produce enormes dilataciones de tiempo cuando dejamos pasar el tiempo y nos acercamos a la velocidad c .
Notas adicionales:
Yo uso el diagnóstico métrico de Minkowski (-1,1,1,1).
