Una hermosa pregunta que merece una hermosa respuesta (espero).
Tome una expresión en la forma [math] e ^ {i {\ mathbf p} \ cdot {\ mathbf q} / \ hbar} [/ math]. (Tenga en cuenta que en realidad tiene dimensiones físicamente sensibles si [math] {\ mathbf p} [/ math] representa el momento y [math] {\ mathbf q} [/ math], coordenadas generalizadas: el momento por la longitud tiene las mismas dimensiones que [ math] \ hbar [/ math], por lo que el exponente no tiene dimensiones.) Llame a esto [math] \ psi [/ math]. Tenga en cuenta que [math] \ psi [/ math] es simplemente un número antiguo (complejo).
Ahora multiplique [math] \ psi [/ math] por [math] {\ mathbf p} [/ math]. Bien, ya sabes cómo hacer eso. OK, multiplique [math] \ psi [/ math] por [math] {\ mathbf q} [/ math]. Ahora también cómo hacerlo. Frio. Y si multiplica [math] \ psi [/ math] por ambos utilizando el producto interno, el orden no importa: aunque [math] {\ mathbf p} [/ math] y [math] {\ mathbf q} [ / math] son ambas cantidades vectoriales, su producto interno es conmutativo. Entonces,
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[matemáticas] {\ mathbf p} \ cdot {\ mathbf q} \ psi = {\ mathbf q} \ cdot {\ mathbf p} \ psi [/ math].
Hasta ahora todo bien … pero ahora calcule [math] -i \ hbar \ nabla \ psi [/ math]. Como [math] \ nabla [/ math] es solo una diferenciación parcial con respecto a las coordenadas [math] {\ mathbf q} [/ math], el resultado es fácil:
[matemáticas] -i \ hbar \ nabla \ psi = {\ mathbf p} \ psi [/ matemáticas].
En otras palabras, presionar [math] \ psi [/ math] con el operador [math] \ hat {\ mathbf p} = – i \ hbar \ nabla [/ math] es lo mismo que multiplicarlo con [math] {\ mathbf p} [/ math]. Sin embargo…
[matemáticas] \ hat {\ mathbf p} \ cdot ({\ mathbf q} \ psi) \ ne {\ mathbf q} \ cdot \ hat {\ mathbf p} \ psi [/ math].
Más bien,
[matemáticas] \ hat {\ mathbf p} \ cdot ({\ mathbf q} \ psi) – {\ mathbf q} \ cdot \ hat {\ mathbf p} \ psi = -i \ hbar \ psi [/ math].
O, si lo desea, simbólicamente:
[matemáticas] \ hat {\ mathbf p} \ cdot {\ mathbf q} – {\ mathbf q} \ cdot \ hat {\ mathbf p} = -i \ hbar [/ math].
En resumen, debido a la forma en que [math] \ hat {\ mathbf p} [/ math] actúa sobre [math] {\ mathbf q} [/ math], los dos no conmutan cuando actúan sobre [math] \ psi [/ matemáticas].
Ahora, ¿por qué hacemos esto? ¿Por qué “promovemos” una cantidad física perfectamente decente, el impulso [math] {\ mathbf p} [/ math], a un operador derivado? Bueno, la cuestión es que originalmente definí [math] \ psi [/ math] usando [math] {\ mathbf p} [/ math] y [math] {\ mathbf q} [/ math]. Pero cualquier ecuación lineal en [math] \ psi [/ math] que contenga [math] {\ mathbf p} [/ math] y [math] {\ mathbf q} [/ math] en sus coeficientes se convierte en una ecuación diferencial lineal después de La promoción. La ecuación que define el hamiltoniano, [matemática] H = {\ mathbf p} ^ 2 / 2m + V [/ matemática], no es una excepción: multiplique por [matemática] \ psi [/ matemática] a la derecha y promueva [matemática ] {\ mathbf p} [/ math] a [math] \ hat {\ mathbf p} [/ math], y tiene una ecuación diferencial lineal que puede reconocer formalmente como la ecuación de Schrödinger para una partícula puntual.
¡Pero esto sigue siendo física clásica! No he hecho nada nuevo aparte de presentar algunas matemáticas bonitas. Sin trucos, sin trucos.
Sin embargo … una cosa sobre las ecuaciones diferenciales lineales es que dadas dos soluciones [math] \ psi_1 [/ math] y [math] \ psi_2 [/ math], su combinación lineal también es una solución. Pero mientras que podemos construir una [matemática] \ psi_1 [/ matemática] a partir de una [matemática] {\ mathbf p} _1 [/ matemática] y [matemática] {\ mathbf q} _1 [/ matemática], y una [matemática] \ psi_2 [/ math] de un [math] {\ mathbf p} _2 [/ math] y [math] {\ mathbf q} _2 [/ math], generalmente no hay [math] {\ mathbf p} [ / math] y [math] {\ mathbf q} [/ math] a la combinación lineal [math] \ alpha_1 \ psi_1 + \ alpha_2 \ psi_2 [/ math] con [math] \ alpha_1 [/ math] y [math] \ alpha_2 [/ math] números arbitrarios (reales o complejos).
La mecánica cuántica comienza con la afirmación de que, sin embargo, estas combinaciones lineales también describen estados reales (los llamados estados mixtos) de un sistema físico.
Mientras escribía mi respuesta, noté que la pregunta cambió, ahora refiriéndose a [matemáticas] P [/ matemáticas] y [matemáticas] Q [/ matemáticas] como matrices. Bueno … nosotros también podemos hacer eso. Dada una función que puede expandirse en forma de serie de potencia, un operador derivado puede, de hecho, expresarse como una matriz (infinita). Tome una función [matemáticas] f (x) = a + bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + ex ^ 4… [/ matemáticas]. Escriba sus coeficientes en forma de un vector de columna y luego multiplíquelo con una matriz de la siguiente manera:
[matemáticas] \ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 &. \\ 0 & 0 & 2 & 0 &. \\ 0 & 0 & 0 & 3 &. \\ 0 & 0 & 0 & 0 &. \\. &. &. &. & \ cdots \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\\ cdots \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} b \\ 2c \\ 3d \\ 4e \\\ cdots \ end {pmatrix} [/ math].
He aquí que el lado derecho es el vector de columna que corresponde a [matemática] f ‘(x) = b + 2cx + 3dx ^ 2 + 4ex ^ 3 +… [/ matemática].
Por otro lado, la multiplicación por [matemáticas] x [/ matemáticas] puede representarse mediante la siguiente matriz:
[matemáticas] \ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 &. \\ 1 & 0 & 0 & 0 &. \\ 0 & 1 & 0 & 0 &. \\ 0 & 0 & 1 & 0 &. \\. &. &. &. & \ cdots \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\\ cdots \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 0 \\ a \\ b \\ c \\\ cdots \ end {pmatrix} [/ math].
Y cuando forma el conmutador de estas dos matrices (pruébelo) realmente obtiene la matriz de identidad. Esto demuestra explícitamente cómo y por qué los operadores y las matrices son a menudo conceptos casi intercambiables.
