¿Cómo serían diferentes las matemáticas y la física si la propiedad conmutativa de la multiplicación no fuera cierta?

Bueno, incluso a su nivel, hay operadores conmutativos y no conmutativos.

Se puede ver que el “complemento” de la multiplicación, la división no es conmutativa, 2/3 no es lo mismo que 3/2. Entonces, probablemente solo se cambiarían los nombres.

Un ejemplo más simple es que la suma es conmutativa 1 + 2 = 2 + 1 pero la resta no es 1-2 ne 2-1.

Al final, como otras respuestas han sugerido que la multiplicación es solo el nombre de una operación, hay muchos análogos de la multiplicación que no son conmutativos como la multiplicación matricial. Hay muchas estructuras matemáticas que requieren conmutatividad, también muchas que requieren no conmutación. Ambos tienen aplicaciones en el modelado del mundo real a través de la física, el ejemplo más famoso de no conmutación podría ser en mecánica cuántica, operador (física).

Si está buscando ejemplos de la vida real, hay cosas como lavarse las manos y jugar con arcilla 🙂.

Timothy Gowers ofrece una forma instructiva de pensar acerca de las matemáticas y la abstracción en su libro Mathematics: A Very Short Introduction (2002).

Un sistema de números no es solo una colección de números sino una colección de números junto con reglas sobre cómo hacer aritmética. Otra forma de resumir el enfoque abstracto es: pensar en las reglas en lugar de los números mismos. Los números, desde este punto de vista, son fichas en una especie de juego (o quizás uno debería llamarlos contadores).

Como ejemplo, habla sobre el concepto de cero.

Históricamente, la idea de cero se desarrolló más tarde que los enteros positivos. A muchas personas les ha parecido un concepto misterioso y paradójico, inspirando preguntas como: ‘¿Cómo puede existir algo y, sin embargo, ser nada?’ Sin embargo, desde el punto de vista abstracto, el cero es muy sencillo: es solo una ficha ingresada en nuestro sistema de números con la siguiente propiedad especial.

0 es una identidad aditiva: 0 + a = a para cualquier número a.

Eso es todo lo que necesita saber sobre 0. No es lo que significa, solo una pequeña regla que le dice lo que hace.

Desde ese punto de vista, una explicación que podría ofrecer es: si la propiedad conmutativa para la multiplicación no fuera cierta, entonces estaríamos jugando un tipo diferente de juego.

Esta es una propiedad de una gran cantidad de estructuras, ver por ejemplo: grupo no abeliano, geometría anabeliana, etc.

La primera estructura de este tipo que se encuentra típicamente es una matriz.
Las reglas simplemente cambian y los resultados también.

Dada la forma en que generalmente definimos la multiplicación, no es posible que esto no sea cierto. Las matemáticas no son ciertas porque lo crees o porque lo has descubierto. 3 × 2 = 2 × 3 debido a la naturaleza de la multiplicación.

Hay * tipos * de multiplicación que son * no * conmutativos – multiplicación matricial, por ejemplo. Si A y B son matrices, entonces no solo A * B generalmente no es = a B * A, a menudo solo se define una de ellas.

La pregunta a un lado, 2 x 3 ES diferente de 3 x 2. Bueno, ambos son seis, pero …

2 x 3 = 3 + 3

3 x 2 = 2 + 2 + 2

Al igual que dijimos que 3n = n + n + n (no 3 + 3 + … n veces).

La ley conmutativa en general no es cierta. Sry sobre eso 🙂