¿Qué significa el propagador intuitivamente en la mecánica cuántica?

Proporcionaré un poco de antecedentes sobre las funciones de Green y luego lo traduciré al significado físico del propagador cuántico.

Sabemos que el estado final de un sistema cuántico se obtiene del estado inicial a través del operador de evolución de tiempo unitario de la siguiente manera,

[matemáticas] | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- \ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} | \ psi (0) \ rangle [/ matemáticas]

Proyectando el estado final sobre la base de la posición y usando el conjunto completo de estados, [matemáticas] \ int | y \ rangle \ langle y | dy = I [/ math] obtenemos,

[matemáticas] \ langle x || \ psi (t) \ rangle = \ int \ langle x | e ^ – \ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar} | y \ rangle \ langle y || \ psi (0) \ rangle dy [/ math]

[matemática] \ implica \ psi (x, t) = \ int G (x, y; t, 0) \ psi (y, 0) dy \ rightarrow (1) [/ matemática]

donde, [matemáticas] G (x, y; t, 0) = \ int \ langle x | U (t, 0) | y \ rangle dy [/ math] se llama la función de Green y [math] U (t, 0) = [/ math] [math] e ^ {- \ frac {i \ hat {H } t} {\ hbar}}. [/ math]

[matemáticas] G (x, y; t, 0) [/ matemáticas] se define como la solución de,

[matemáticas] D_ {x, t} G (x, y; t, 0) = \ delta (xy) \ delta (t) \ rightarrow (2) [/ matemáticas]

donde, [matemáticas] D_ {x, t} = \ bigg [- \ frac {\ hbar ^ 2 \ nabla ^ 2} {2m} + V (x) -i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t } \ bigg] [/ math] y [math] D_ {x, t} \ psi (x, t) = 0 [/ math] es la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo con un Hamiltoniano independiente [math] H [/ math] .

Además, [math] G (x, y; t, 0) [/ math] es la función del núcleo de la transformación integral [math] (1). [/ Math]

Se puede ver que [matemáticas] G (x, y; 0,0) = \ delta (xy) [/ matemáticas], la función delta de Dirac es la función del núcleo de la transformación de identidad.

En forma de operador [math] (2) [/ math] se convierte en,

[matemáticas] \ hat {D} G (t) = \ delta (t) [/ matemáticas]

Dado que [math] \ delta (xy) [/ math] es la función del núcleo que realiza la transformación de identidad, [math] \ delta (t) [/ math] es el operador de identidad . Por lo tanto, [math] G (t) [/ math], el operador de Green, por así decirlo, no es más que el inverso del operador [math] \ hat {D}. [/ Math]

Físicamente, [matemática] G (x, y; t, 0) [/ matemática] se denomina propagador cuántico que proporciona la amplitud de probabilidad de que una partícula llegue al punto espacio-temporal [matemática] (x, t) [/ math] dado que comienza desde [math] (y, 0) [/ math].

De forma análoga al principio de Huygens-Fresnel, la definición [math] (1) [/ math] nos dice que el valor de la función de onda en el punto [math] (x, t) [/ math] es la superposición de todos los caminos ( contribuciones) procedentes de los puntos [matemática] (y, 0), (y ‘, 0), (y’ ‘, 0)… [/ matemática]

El propagador (a veces llamado función verde) es una amplitud de probabilidad para algún proceso. Le indica la probabilidad de que un sistema que comienza en estado [matemático] A [/ matemático] en el momento [matemático] t [/ matemático] estará en estado [matemático] B [/ matemático] en el momento [matemático] t ‘[ /matemáticas].

El propagador más comúnmente calculado es el del electrón. Supongamos, por ejemplo, que tiene un detector que mide la posición de los electrones. En algún momento [math] t [/ math], usted encuentra un electrón en el punto [math] x [/ math]. Después de la medición, la función de onda del electrón se “propagará” lejos de ese punto de acuerdo con la ecuación de Schrödinger. Ser capaz de detectar electrones es bueno, pero también le gustaría poder predecir dónde estará el electrón en el futuro. Como sabemos, según la mecánica cuántica, no podemos predecir con absoluta certeza dónde estará el electrón en el futuro. Sin embargo, podemos saber la probabilidad de encontrar el electrón en una posición particular en el futuro. El propagador [matemático] G (x, t, x ‘, t’) [/ matemático] es la amplitud de probabilidad de encontrar el electrón en el punto [matemático] x ‘[/ matemático] en el momento [matemático] t’ [/ math] en el futuro, dado que se encontró en la posición [math] x [/ math] y time [math] t [/ math] en el pasado. La probabilidad de encontrar el electrón en [matemáticas] x ‘[/ matemáticas] en el momento [matemáticas] t’ [/ matemáticas] es la magnitud al cuadrado de esta amplitud de probabilidad.