¿Cómo determinamos si cierta cantidad física es un vector?

Los primeros vectores definidos fueron los relacionados con los desplazamientos en el espacio. Claramente, esto requiere una entrada teórica y experimental para crear la definición particular. No hay una razón a priori (que sepamos) de que el espacio físico tenga tres dimensiones, pero lo tiene.

Parte de la definición matemática de los vectores es que puedes escalarlos multiplicándolos con números ordinarios. Por ejemplo, puede tener un vector que represente un desplazamiento de dos pies a la izquierda y multiplicarlo por 3 para obtener un nuevo vector que represente un desplazamiento de seis pies a la izquierda. Una vez que tenga este concepto de escala, es sencillo definir velocidades. Si un objeto se mueve seis pies hacia la derecha en dos segundos, puede multiplicar el vector de desplazamiento por el recíproco del tiempo para obtener un nuevo vector que llamamos la velocidad. Con suerte, puede ver que es natural que la velocidad sea un vector, y no otra cosa.

Ahora la relatividad es un poco más difícil de explicar. Básicamente, los vectores de desplazamiento y velocidad anteriores no son realmente correctos, ya que suponen:

1) Que podemos mapear las distancias entre objetos colocándolos contra reglas que son sólidas y tienen longitudes invariables.

2) Que podemos sincronizar tiempos de alguna manera entre dos puntos separados, por ejemplo, haciendo que los observadores en los dos puntos se refieran al mismo reloj de pared.

Está claro por lo que sabemos sobre física que esto no es realmente cierto. Lo que vemos como objetos sólidos realmente está hecho de muchas partículas, que en realidad tienen que ser representadas por ondas que están en movimiento a velocidades que no pueden exceder la velocidad de la luz. Claramente, el uso de un reloj de pared no es exacto porque hay un desfase entre el reloj y el observador. Si tratamos de compensar eso, se vuelve muy complicado, pero la conclusión es que NO HAY MANERA de sincronizar relojes separados espacialmente, por lo que es imposible decir que los eventos son simultáneos si están separados espacialmente. ¡Ni siquiera podemos decir que los dos extremos de nuestra regla están “al mismo tiempo”! Todo esto causa estragos en nuestras suposiciones originales cuando configuramos nuestro espacio vectorial simple y la definición de velocidad como un vector tridimensional.

Ver Relatividad de simultaneidad en Wikipedia.

La relatividad logra definir un sistema autoconsistente de vectores que maneja todos los casos. Naturalmente, será ligeramente diferente de nuestras definiciones originales e imperfectas, pero la diferencia será tan pequeña en los casos cotidianos que no nos preocuparemos. Y decimos que nuestras definiciones originales eran correctas como un “caso limitante” de relatividad, válido a bajas velocidades.

En física, la mayoría de los vectores tienen que ver con los desplazamientos como se discutió anteriormente. Los ejemplos incluyen fuerzas, intensidades de campo eléctrico y magnético y aceleración. Pero está permitido definir vectores de otras maneras. El requisito para que algo sea un vector es solo que tiene una base (como la combinación norte, este, arriba) y que los vectores se definen como combinaciones escaladas de esos (3.0 norte, -0.5 este, 5.1 arriba, por ejemplo .) La base puede ser otra cosa (como presión, temperatura, tiempo), si la combinación es útil para la situación que se está discutiendo, pero estrictamente hablando, los vectores deben obedecer ciertos axiomas relacionados con la forma en que se suman.

Ver espacio vectorial en Wikipedia.

En física, un vector “ordinario” es un conjunto de tres cantidades que se transformarán de manera razonable cuando rotamos nuestro marco de referencia. Más precisamente, si nuestro marco de referencia gira, las cantidades deberían cambiar por la rotación opuesta . Así es exactamente como se comportan muchas cantidades físicas: posición, velocidad, fuerza, etc.

Para un ejemplo simple (2d), considere una partícula que se encuentra en el punto (1,2) con respecto a algún sistema de coordenadas (figura izquierda). Ahora, rotemos el marco de referencia 90 grados en sentido horario (figura derecha). La posición de la partícula es, por supuesto, la misma, pero como ahora la estamos describiendo en el nuevo sistema de coordenadas, las coordenadas son ahora (-2, 1). Tenga en cuenta que las coordenadas han girado 90 grados en sentido antihorario. En esencia, ser un vector significa que las coordenadas de la cantidad compensan la rotación del marco de referencia de forma natural.

Como señalé, estos son vectores “ordinarios”, es decir, como se usa generalmente el término. Sin embargo, no hay nada especial en las rotaciones, matemáticamente hablando: podríamos haber usado otro grupo de simetría para definir objetos similares. Por ejemplo, esto es lo que se hace en la relatividad. En lugar de considerar simplemente rotaciones del espacio, consideramos las transformaciones del espacio y el tiempo; en la relatividad, estas no se pueden separar. Las cantidades correspondientes se conocen como cuatro vectores.

A2a: en última instancia, no hay justificación para el uso de vectores en física, excepto el empírico al que alude en su comentario: se usan porque resultan ser la construcción matemática que funciona al describir las mediciones empíricas de la física.

Puede reducir cosas como las diferentes naturalezas aditivas de velocidad y energía a las leyes de conservación: Pero los vectores y escalares utilizados en física son solo la conveniente notación matemática necesaria para representar adecuadamente estas leyes de conservación. Que derivan de la evidencia física!

En cuanto a la conexión entre el tiempo euclidiano 3D + con el espacio-tiempo 4D, aunque son formulaciones bastante diferentes, la conexión radica en el hecho de que las velocidades diarias que encontramos son una fracción muy pequeña de la velocidad de la luz (v / c); A menudo, una fracción tan pequeña que nuestros instrumentos ni siquiera pueden detectar la diferencia entre los dos modelos.

Los dos modelos solo divergen significativamente en las predicciones a relaciones más altas de v / c, en cuyo momento nos damos cuenta de que el espacio-tiempo 4D es el que se aplica más generalmente en un rango más amplio de datos. Lo que no quiere decir que 3D plus time no sea más que útil y computacionalmente útil en situaciones donde v / c es realmente pequeño. En ese sentido, ni siquiera está mal. (Las personas que llaman a la Mecánica Newtoniana “equivocada”, dado el “espacio-tiempo” correcto, realmente despiertan mi ira).

Con un ejemplo ligeramente diferente, mostraré cómo dos marcos diferentes dan la “misma” respuesta. Imagine una bola lanzada en la Luna a baja velocidad: en la mecánica clásica, el movimiento del arco hacia arriba y hacia abajo puede describirse con mucha precisión mediante una parábola.

Pero con la gravitación newtoniana, sabemos que el arco es realmente parte de una elipse (¡a menos que haya lanzado la pelota a la velocidad de escape!), Que tiene una fórmula diferente pero relacionada con la parábola. ¡Pero la parábola funciona! (dentro del error de medición del instrumento). La diferencia es que un marco supone líneas de campo de potencial de gravedad paralelas, y el otro no.

Entonces, si está lanzando una pelota de fútbol, ​​el enfoque anterior (parábola + arrastre aéreo) es y sigue siendo un modo de análisis físico completamente apropiado, y solo si continúa y aplica el mismo pensamiento a la artillería de largo alcance descubrirá que hay más que a primera vista, y la ligera divergencia de las líneas de campo en un planeta esférico puede tener un efecto medible y no siempre debe suponerse lo suficientemente cerca del paralelo como para no hacer ninguna diferencia.

Para agregar a una serie de buenas respuestas:

Sugeriría, en lugar de tomar una perspectiva ‘a priori’, en lugar de considerar los vectores como surgidos en respuesta a la necesidad de modelar patrones físicos observados. Una gran cantidad de ideas matemáticas fueron desarrolladas simultáneamente / motivadas por descubrimientos físicos tempranos, por ejemplo, cálculo, topología, etc. El espacio euclidiano no es una excepción. Originalmente definimos la adición de vectores en Rn como componentes sabios porque esto tiene sentido como un modelo físico, dada la forma en que vemos cómo se comportan los objetos en el mundo real.

Sin embargo, los matemáticos tienen un don para generalizar las cosas, por lo que nuestra noción actual de un espacio vectorial abarca muchas más cosas que la mecánica clásica. Los axiomas básicos y las definiciones de un espacio vectorial se pueden encontrar en Wikipedia, si está interesado. Son bastante abstractos, lo que puede ser confuso al principio. Esto se debe principalmente a que hay muchas cosas que pueden contar como ‘vectores’, que a veces no tienen ningún parecido con la noción intuitiva de ‘flechas’. De hecho, la “definición” de un vector dada en muchas clases de matemáticas de la escuela secundaria como “algo con una magnitud y una dirección” no abarca el comportamiento de muchos espacios vectoriales abstractos (por ejemplo, puede tener espacios vectoriales sin una norma o “magnitud” ) Sin embargo, tenga en cuenta que, si bien los matemáticos están interesados ​​en las propiedades algebraicas de los espacios vectoriales por sí mismos, las definiciones actuales que emplean los matemáticos son el resultado de generalizar nociones más antiguas (y a menudo menos precisas) para atacar problemas específicos, muchas de los cuales son físicos Estos incluyen no solo cosas como la relatividad especial, sino también cosas como espacios de Hilbert de dimensiones infinitas, que resultan útiles para una gran cantidad de cosas (por ejemplo, análisis de Fourier).

tl; dr: los vectores modelan bien las cantidades físicas porque la física y los problemas físicos eran intrínsecos al desarrollo del álgebra vectorial en primer lugar.

¡Espero que esto ayude!

La definición matemática de vector) que incluye un objeto abstracto cuando siempre se puede agregar 2 objetos, y el producto de un vector por un número fue respondido todavía, y estoy de acuerdo con eso. Muchos objetos muy diferentes a un segmento orientado pueden ser vectores

Pero para la física, prefiero la definición de Einstein, pero explicada en otra publicación (los comentarios de Som me dicen que esta definición utilizada por Einstein fue formulada antes que él. Distinguen 2 componentes para un vector. Covariantes, que son cuando sumamos productos de números por vector de la base, ejemplo enemigo

para un espacio vectorial n-dimensional

Si cambia el sistema de coordenadas, los componentes del vector cambian. Si cambian como el diferencial de un escalar, entonces son vectores. Einstein usó la diferenciación para definirla porque funciona con una curva del espacio pseudoreimaniano de 4 dimensiones. En un espacio euclidiano, puedes sustituir los diferenciales por diferencias

https://www.ibiblio.org/ebooks/E …

El vector es 1) tamaño y 2) dirección.

Cualquier pila de números que se te ocurra es un vector.
La correlación de dos vectores está relacionada con el ángulo entre ellos (más ángulo = menos correlacionado hasta 90 ‘es ortogonal, menos correlacionado).
Para un ejemplo 2d, tome la altura y el peso corporal como el vector de una persona1, y haga lo mismo para crear un vector de persona2, verifique la correlación (similitud) de las dos personas.
Puede estirar los vectores para convertir unidades, o rotarlos multiplicándolos por escalares o matrices para obtener un marco de referencia diferente, por ejemplo, en comparación con otra cosa …

si tiene un tamaño y dirección es un vector. La temperatura en una parte de una habitación solo tiene tamaño, por lo que no necesita un vector, solo necesita un escalar. Sin embargo, la velocidad necesita un vector: una pila de números.