¿Alguien puede explicar el principio de incertidumbre de Heisenberg utilizando protones y electrones?

El principio de incertidumbre de Heisenberg dice que si conoce la posición de una partícula, tiene incertidumbre sobre su impulso *, y viceversa.

El producto de las incertidumbres en la posición Δx y el momento Δp es una constante de la naturaleza. ΔxΔp = ħ / 2

* El momento es la masa por la velocidad, p = mv, por lo que un requisito previo para ver los efectos del principio de incertidumbre es mirar los objetos de luz: si la masa es muy pequeña, como en el caso de un electrón, entonces se traduce una incertidumbre en el momento en una gran incertidumbre en la velocidad.

Una pregunta que es difícil de responder con la física clásica es por qué el electrón tiene una órbita estable alrededor del protón en el átomo de hidrógeno.

Hay una atracción electrostática entre el electrón y el protón, que se escala como 1 / r. Cuanto más se acerca el electrón al protón, más energía se libera. Puede escribir el potencial del electrón a una distancia ‘r’ del protón como:

[matemáticas] V = – \ frac {q ^ 2} {4 \ pi \ epsilon_0 r} [/ matemáticas]

si r se aproxima a cero, V se acerca a -∞ … el electrón puede ganar una cantidad infinita de energía al caer directamente sobre el protón, por lo que un enfoque clásico ingenuo predice que el electrón cae sobre el protón, liberando grandes cantidades de energía.

Ahora, el principio de incertidumbre de Heisenberg puede salvar el día. El punto es que si sabemos que r es pequeño (el electrón está cerca del protón), entonces Δr es pequeño, por lo que Δp debe ser grande, porque (dice Heisenberg) ΔrΔp = ħ / 2 y entonces Δp = ħ / (2Δr )

Dado que el momento p es simplemente masa por velocidad, entonces Δp = mΔv, la energía cinética del electrón debe aumentar cuando conocemos la posición con precisión. La energía cinética es ½mv²

[matemáticas] T = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \ sim \ frac {m ^ 2 \ Delta v ^ 2} {2m} = \ frac {\ Delta p ^ 2} {2m} = \ frac { \ hbar ^ 2} {8m \ Delta r ^ 2} [/ math]

Entonces la energía total del electrón cerca del protón es entonces

[matemáticas] E = T + V [/ matemáticas]

[matemáticas] E = \ frac {\ hbar ^ 2} {8m \ Delta r ^ 2} – \ frac {q ^ 2} {4 \ pi \ epsilon_0 \ Delta r} [/ matemáticas]

Si traza esa función de energía de Δr, encontrará que tiene un mínimo cuando Δr es finito pero no cero: el principio de incertidumbre predice que el electrón tiene un radio de órbita finito alrededor del protón. Si pones los números, obtienes el radio de Bohr medido experimentalmente.

Si encontramos el mínimo estable de esa función:

[matemáticas] \ frac {\ partial E} {\ partial \ Delta r} = – \ frac {\ hbar ^ 2} {4m \ Delta r ^ 3} + \ frac {q ^ 2} {4 \ pi \ epsilon_0 \ Delta r ^ 2} = 0 [/ matemáticas]

lo entendemos

[matemáticas] \ Delta r = \ frac {\ hbar ^ 2 \ pi \ epsilon_0} {mq ^ 2} [/ matemáticas]