Quizás este enfoque arroje algo de luz sobre tus dudas,
En esta explicación, [math] * [/ math] implica convolución
[math] \ int _ {- \ infty} ^ tf (\ tau) \, d \ tau = f (t) * u (t) [/ math] – Una propiedad conocida pero que se puede probar fácilmente
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[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {t- \ frac {T} {2}} f (\ tau) \, d \ tau = f (t) * u (t- \ frac {T} {2 }) [/ matemáticas] – (1)
[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {t + \ frac {T} {2}} f (\ tau) \, d \ tau = f (t) * u (t + \ frac {T} {2}) [/ matemáticas] – (2)
(2) – (1) =>
[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {t + \ frac {T} {2}} f (\ tau) \, d \ tau- \ int _ {- \ infty} ^ {t- \ frac {T} { 2}} f (\ tau) \, d \ tau = f (t) * u (t + \ frac {T} {2}) [/ math] [math] -f (t) * u (t + \ frac { T} {2}) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ int_ {t- \ frac {T} {2}} ^ {t + \ frac {T} {2}} f (\ tau) \, d \ tau = f (t) * u (t + \ frac {T} {2}) [/ matemáticas] [matemáticas] -f (t) * u (t + \ frac {T} {2}) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {1} {T} \ int_ {t- \ frac {T} {2}} ^ {t + \ frac {T} {2}} f (\ tau) \, d \ tau = \ frac {1} {T} f (t) * u (t + \ frac {T} {2}) [/ matemáticas] [matemáticas] – \ frac {1} {T} f (t) * u (t + \ frac { T} {2}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {T} f (t) * u (t + \ frac {T} {2}) [/ matemáticas] [matemáticas] – \ frac {1} {T } f (t) * u (t + \ frac {T} {2}) [/ math]
Tomando Laplace en ambos lados,
[matemáticas] = F (s) \ frac {1} {T} \ frac {e ^ {\ frac {sT} {2}}} {s} -F (s) \ frac {1 } {T} \ frac {e ^ {- \ frac {sT} {2}}} {s} [/ math]
[matemáticas] = F (s) (\ frac {e ^ {\ frac {sT} {2}} – e ^ {- \ frac {sT} {2}}} {sT}) [ /matemáticas]
