Digamos que tiene un campo vectorial [math] \ vec {F}: \ R ^ n \ rightarrow \ R ^ n [/ math]. Tomemos (para hacer que las cosas sean más fáciles de entender) tomar [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]. Primero observe que las líneas de campo no dependen de la magnitud de [math] \ vec {F} [/ math] en ningún punto, sino solo de la dirección del campo. Esto significa que tenemos que el vector tangente a una línea de campo en un punto dado tiene la misma dirección que [math] \ vec {F} [/ math] en ese mismo punto. Si la línea de campo a través de algún punto tiene una ecuación paramétrica [matemática] \ vec {r} = \ vec {r} (t) [/ matemática] entonces tenemos la siguiente ecuación
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d \ vec {r}} {dt} = \ lambda (t) \ vec {F} (\ vec {r} (t)) [/ math]
Con [math] \ lambda (t) [/ math] un factor de escala que depende de dónde esté la línea de campo.
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Debido a que estamos trabajando con un campo vectorial bidimensional, podemos descomponer la ecuación anterior en un sistema de dos ecuaciones (campo vectorial n-dimensional [matemática] \ ecuación derecha [/ matemática] n ecuaciones)
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dx} {dt} = \ lambda (t) \ vec {F} _1 (x, y) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dy} {dt} = \ lambda (t) \ vec {F} _2 (x, y) [/ math]
Si ahora resolvemos ambas ecuaciones para [math] \ lambda (t) dt [/ math] obtenemos la siguiente ecuación equivalente
[matemática] \ displaystyle \ frac {dx} {F_1 (x, y)} = \ frac {dy} {F_2 (x, y)} [/ math]
Resolver esta ecuación diferencial te dará la ecuación de las líneas de campo. Si completa un número para la constante de integración, obtendrá una línea de campo específica.
Espero que esto haya ayudado.
