En el momento en que disparas la bala, la bala sigue girando con la Tierra a la misma velocidad lateral que el suelo debajo de ella. Si eso se mantuviera cierto durante la duración de su vuelo, siempre recaería sobre usted. Pero resulta que no es del todo cierto.
Vamos a ignorar la resistencia del aire (lo cual es altamente cuestionable, pero la cantidad de suposiciones cuestionables que debes haber hecho para aterrizar en esta situación es indudablemente ya de alto nivel) y asumiremos que la única fuerza que actúa sobre la bala es la gravedad. Sin embargo, la segunda ley de Kepler nos dice que la constante no es la velocidad lateral de la bala, sino el área barrida por el segmento que conecta el centro de la Tierra con la bala. Entonces, la velocidad lateral disminuye inversamente con la altura de la bala medida desde el centro de la Tierra.
Eso significa que la distancia lateral total recorrida por la bala disminuye inversamente con la media armónica de la altura. En el rango de alturas de las que estamos hablando, será bastante preciso sustituir la media aritmética por la media armónica.
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Suponga que vive en la latitud [matemáticas] \ phi [/ matemáticas], y desea que la bala caiga a la distancia [matemáticas] d [/ matemáticas] de usted. Deje que [math] r [/ math] sea el radio de la Tierra, y [math] v = \ tfrac {2 \ pi r \ cos \ phi} {1 \, \ textrm {day}} [/ math] sea la rotación de la Tierra velocidad a tu latitud. Si la bala cae en el momento [matemática] t [/ matemática] después de dispararla, entonces habrá recorrido lateralmente [matemática] vt [/ matemática], mientras que la bala habrá viajado lateralmente [matemática] vt \ tfrac { r} {r + \ overline h} [/ math], donde [math] \ overline h [/ math] es la altura media de la bala sobre el suelo, para una diferencia de [math] vt \ tfrac {\ overline {h} } {r + \ overline {h}} [/ math]. Asumiremos [matemáticas] \ overline h \ ll r [/ matemáticas] y aproximaremos esto como
[matemáticas] d \ aprox. vt \ frac {\ overline h} {r} = \ frac {2 \ pi th \ cos \ phi} {1 \, \ textrm {día}} [/ math].
Ahora, aunque la altura máxima es aproximadamente [matemática] h _ {\ text {pico}} \ aprox \ tfrac {gt ^ 2} {8} [/ matemática], la altura media es solo
[matemáticas] \ overline h \ aprox \ frac 1t \ int _ {- t / 2} ^ {t / 2} \ left (\ frac {gt ^ 2} {8} – \ frac {gu ^ 2} {2} \ derecha) \, du = \ frac {gt ^ 2} {12} [/ math].
(Desde una perspectiva totalmente kepleriana, estas son solo aproximaciones, pero solo estamos jugando con armas aquí para que sean lo suficientemente buenas).
Podemos resolver estas dos ecuaciones para [math] t [/ math] y [math] \ overline h [/ math]:
[matemática] t \ aproximada \ sqrt [3] {\ frac {12 \, \ textrm {día}} {2 \ pi \ cos \ phi} \ cdot \ frac dg} \ aprox 25.6 \, \ textrm {m} ^ {-1/3} \ cdot \ textrm {s} \ frac {d ^ {1/3}} {\ cos ^ {1/3} \ phi} [/ math],
[matemáticas] \ overline h \ approx \ sqrt [3] {\ frac {1 \, \ textrm {día} ^ 2} {12 (2 \ pi \ cos \ phi) ^ 2} \ cdot d ^ 2g} \ aprox 537 \, \ textrm {m} ^ {1/3} \ frac {d ^ {2/3}} {\ cos ^ {2/3} \ phi} [/ math],
[matemáticas] h _ {\ text {peak}} \ approx \ frac32 \ overline h \ approx 805 \, \ textrm {m} ^ {1/3} \ frac {d ^ {2/3}} {\ cos ^ { 2/3} \ phi} [/ matemáticas].
Por ejemplo, para obtener una distancia de aterrizaje segura de [math] d = 1 \, \ textrm {m} [/ math] en el ecuador, deberá disparar la bala sobre [math] 805 \, \ textrm {m} [/ matemáticas] en el aire. Eso requiere una velocidad de boca de [matemática] 126 \, \ tfrac {\ textrm {m}} {\ textrm {s}} [/ matemática], que en realidad es bastante lenta para una bala.
Debes tener en cuenta que si estás fuera de la posición vertical con solo [matemática] 0.02 ^ \ circ [/ matemática], la bala podría tener suficiente velocidad lateral adicional para caer sobre tu cabeza y matarte de todos modos. Pero al menos podrás consolarte con el hecho de que no habrá sido culpa de Kepler. Feliz disparo!
