No lo hace.
Esta serie obviamente va al infinito.
Sin embargo, puedes decir más que eso. Las cosas pueden ir al infinito de diferentes maneras. Comparar:
- Si dos métodos de cálculo diferentes produjeron un resultado numérico idéntico (con la precisión requerida), ¿es seguro asumir que los dos métodos deben ser los mismos independientemente?
- En matemáticas, ¿qué es un zork?
- ¿Cuál es la derivada de la función delta de Dirac?
- ¿Es posible dar la ubicación de un lugar con vectores de posición en lugar de latitudes y longitudes?
- ¿Cuál es el significado de los vectores de gradiente?
[matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ x [/ matemáticas]
Ambos irán al infinito en el límite de [math] x \ to \ infty [/ math]. Pero la segunda opción va mucho más rápido. Pero eso es extraño, ¿no? [matemática] e ^ x> x ^ 2 [/ matemática] para valores grandes de [matemática] x [/ matemática], sin embargo, sus límites son los mismos. Pero su diferencia [matemáticas] e ^ x – x ^ 2 [/ matemáticas] también irá al infinito.
Muy extraño. Sus límites son los mismos, pero la “distancia” entre las dos funciones también es infinitamente grande. Si ese es el caso, decimos que [math] e ^ x [/ math] va al infinito más rápido que [math] x ^ 2 [/ math].
Entonces, ¿qué podemos hacer con eso? Bueno, tal vez podríamos ver si este ‘ir más rápido al infinito’ también puede aplicarse a sumas infinitas de valores discretos, resulta que es un poco sospechoso. Puede hacerlo, pero dependiendo de cómo lo haga, puede forjar resultados diferentes.
Entonces, ¿qué sucede cuando haces esto con [math] \ sum_ {i} i [/ math]? Obtiene el siguiente comportamiento:
[matemáticas] \ sum_i i = \ lim _ {\ epsilon \ a 0} \ frac {1} {\ epsilon ^ 2} – \ frac {1} {12} + O (\ epsilon) [/ matemáticas]
Esto puede interpretarse que, bajo un cálculo específico, el ‘valor’ de la suma infinita comienza a comportarse como el límite de [matemáticas] \ lim _ {\ epsilon \ a 0} \ frac {1} {\ epsilon ^ 2} [/ matemáticas] menos algún resto finito. Este resto finito puede (¿dependerá?) Del procedimiento exacto que haya aplicado, pero siempre que mantenga el procedimiento igual, sus resultados serán consistentes.
Esta idea (para obtener más información, debería buscar y regularizar en Google) es ampliamente utilizada en Física para deshacerse de los infinitos. Desafortunadamente, nunca estudié el lado matemático hardcore (si es que existe), pero sí sé que los resultados obtenidos de esta manera son consistentes con la realidad.
Entonces, sí, la suma infinita no es [matemática] \ frac {-1} {12} [/ matemática], pero puede interpretar el resto finito como [matemática] \ frac {-1} {12} [/ matemática].
Para aquellos de ustedes que puedan estar interesados en el cálculo exacto, aquí lo tenemos muy brevemente:
En lugar de calcular [matemáticas] \ sum_ {i} i [/ matemáticas], calcula:
[matemáticas] \ lim _ {\ epsilon \ a 0} \ sum_ {n} ne ^ {\ epsilon n} [/ matemáticas]
Si pudiéramos intercambiar sumas y límites sin consecuencias, este cálculo sería idéntico a la suma original (ya que [math] e ^ 0 = 1 [/ math]). Desafortunadamente, esto no está permitido matemáticamente: no puede probar que el resultado sea el mismo (aunque esto no significa que el resultado deba ser diferente tampoco). Sin embargo, lo hacemos de todos modos.
Esta suma se puede calcular y tiene un valor finito (si no sabe cómo, intente primero integrar [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas], luego aplique una serie geométrica). El resultado es:
[matemáticas] \ lim _ {\ epsilon \ a 0} \ frac {e ^ {\ epsilon}} {\ left (e ^ {\ epsilon} -1 \ right) ^ 2} [/ math]
Dado que estamos interesados en el comportamiento de [math] \ epsilon [/ math] muy pequeño, podemos expandir la expresión anterior alrededor de [math] \ epsilon = 0 [/ math] y ver qué tipo de comportamiento obtenemos. Esto luego produce:
[matemáticas] \ lim _ {\ epsilon \ a 0} \ frac {1} {\ epsilon ^ 2} – \ frac {1} {12} + \ frac {\ epsilon ^ 2} {240} [/ matemáticas]
El último término puede ignorarse porque en el límite esto desaparecerá. Entonces, el único resto finito es esa famosa [matemática] \ frac {-1} {12} [/ matemática].
Tenga en cuenta que técnicamente hizo algo que lo hace matemáticamente incapaz de garantizar que este resultado sea consistente con la suma original. Sin embargo, cuando se hace física, la naturaleza (y no las matemáticas) es la máxima autoridad. Y siempre que podamos producir resultados que funcionen consistentemente, haremos algo bien. Aunque esto implica que podría haber algo mal con la forma en que hacemos las cosas desde el principio. ¿Quién sabe?
