¿Qué es una biyección entre (0,2) y [0,2)?

El teorema de Schröder-Bernstein ofrece una forma general de construir tales biyecciones.

Para casos simples como este, la construcción de una biyección es bastante simple: simplemente oculta los elementos adicionales cambiando una secuencia infinitamente contable.

Esto es exactamente como en el hotel de Hilbert. En la primera versión de ese rompecabezas tienes un hotel con un número infinito de habitaciones (etiquetadas 1, 2, 3, …), todas ellas ocupadas. ¿Cómo hacer espacio para un invitado más? Al mover a todos los invitados actuales: el invitado de la habitación [matemáticas] x [/ matemáticas] entrará en la habitación [matemáticas] x + 1 [/ matemáticas]. Todo el mundo todavía tiene una habitación pero voilà, la habitación 1 ahora está vacía.

Por lo tanto, una posible forma de definir una biyección de [0,2) a (0,2) es la siguiente:

  • Para cada [matemática] n \ geq 1 [/ matemática], asigne la fracción [matemática] 1 / n [/ matemática] a la fracción [matemática] 1 / (n + 1) [/ matemática].
  • El paso anterior hizo “una habitación de hotel gratis” en 1, así que úsela para el nuevo huésped: mapa [matemáticas] 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] 1 [/ matemáticas].
  • Deje todos los demás elementos en sus lugares. (Es decir, para cada [matemática] x [/ matemática] que no sea 0 ni de la forma [matemática] 1 / n [/ matemática], asigne [matemática] x [/ matemática] a [matemática] x [/ matemática] .)

Aunque no siempre se debe esperar que una función tome la forma de una fórmula cerrada, en este caso, podemos diseñar dicha fórmula con la ayuda del operador de techo [math] \ lceil \ cdot \ rceil [/ math]:

[matemáticas] \ begin {collect *} f: (0, 2) \ to [0, 2), \\ f (x) = 2 – \ frac {2} {2 \ left \ lceil \ frac {2} { 2 – x} \ right \ rceil – \ frac {2} {2 – x} – 1}. \ End {collect *} [/ math]

Muchos estudiantes intentan encontrar una función elemental que forme la biyección, ya que aún no están acostumbrados a las funciones no elementales cuando enfrentan esta pregunta (primer semestre para mí).

Un argumento topológico muestra que tal intento es inútil. Sugerencia: al eliminar [math] 0 \ in \ left [0,2 \ right) [/ math] lo deja conectado.

Vea la respuesta de Michal Forišek para una biyección que funciona.