No, no es.
Recuerde que la definición de un límite superior establece que, si [math] E [/ math] es cualquier subconjunto de [math] \ mathbb {R}, [/ math], entonces se dice que [math] E [/ math] está acotado arriba si hay algún elemento [math] M \ in \ mathbb {R} [/ math] tal que [math] x \ leq M [/ math] para cada elemento [math] x [/ math] en [math] E .[/matemáticas]
Del mismo modo, se puede definir un límite inferior para un conjunto.
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Si [math] \ phi [/ math] denota el conjunto vacío, entonces cada número [math] M \ in \ mathbb {R} [/ math] es un límite superior para [math] \ phi, [/ math] porque si [matemática] M [/ matemática] no es un límite superior para [matemática] \ phi, [/ matemática], entonces debe proporcionar alguna [matemática] x \ in \ phi [/ matemática] tal que [matemática] x> M [ /mathfont>. Pero esto no es posible, porque para cada objeto [math] x [/ math] tenemos [math] x \ notin \ phi [/ math] ya que [math] \ phi [/ math] es un conjunto vacío Por lo tanto, [math] M [/ math] debe ser un límite superior para [math] \ phi. [/ Math] Mediante un argumento similar, puede mostrar que cada número [math] N \ in \ mathbb {R} [/ math] es un límite inferior para el conjunto vacío [math] \ phi. [/ math]
¿Significa esto que cada número real es un supremum o infimum para el conjunto vacío [math] \ phi [/ math]? (O tal vez, ¿hay algún número real que sea un supremum o infimum para el conjunto vacío [math] \ phi [/matemáticas]?)
La respuesta es no. Si hay un [math] \ alpha \ in \ mathbb {R} [/ math] que es el supremum para el conjunto vacío [math] \ phi [/ math], entonces debemos demostrar que cualquier [math] \ beta <\ alpha [/ math] no es un límite superior para el conjunto vacío [math] \ phi. [/ math] Pero no es cierto como todos los números reales, por lo tanto, [math] \ beta [/ math ], es un límite superior para [math] \ phi. [/ math] Un argumento similar mostrará que el conjunto vacío [math] \ phi [/ math] tampoco puede tener infimum (límite inferior mayor).
El punto clave aquí es tener en cuenta que, sin importar el número real que elija, siempre hay un número real que es más pequeño que el que ha elegido y es un límite superior para el conjunto vacío [math] \ phi. [/ Math]
Utilizamos los símbolos [math] – \ infty, + \ infty [/ math] para denotar el supremum y el infimum de un conjunto vacío, es decir, establecemos [math] \ text {sup} (\ phi): = – \ infty [/ math] y [math] \ text {inf} (\ phi): = + \ infty [/ math].
Pero esto es menos formal ya que los objetos [math] + \ infty [/ math] y [math] – \ infty [/ math] no están incluidos en números reales [math] \ mathbb {R} [/ math] y solo son reales Se considera que los números son el supremum y el infimum de los conjuntos.
