¿Por qué divide la aceleración por dos en [matemáticas] x = x_0 + v_0t + \ frac12at ^ 2 [/ matemáticas]?

A partir de su pregunta, supongo que no conoce el cálculo en este momento. Entonces, lo explicaré un poco diferente.

Dividamos el intervalo de tiempo de [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] t [/ matemática] en n intervalos muy pequeños ([matemática] n [/ matemática] es un número grande) tal que la velocidad en cada intervalo puede considerarse uniforme (esto es una aproximación). Obviamente, la longitud de cada intervalo es [matemática] \ displaystyle \ frac {t} {n} [/ matemática].

Luego, en el intervalo [matemático] i [/ matemático], la velocidad estaría dada por:

[matemáticas] \ displaystyle v_i = v_o + a \ left (i \ frac {t} {n} \ right) [/ math]

Y, la distancia recorrida en el intervalo [matemático] i [/ matemático] sería:

[matemáticas] \ displaystyle x_i = v_o \ left (\ frac {t} {n} \ right) + ai \ left (\ frac {t} {n} \ right) ^ 2 [/ math]

Por lo tanto, la posición después del tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas] sería:

[matemáticas] \ displaystyle x = x_0 + \ sum_ {i = 1} ^ {n} x_i = \ sum_ {i = 1} ^ {n} v_o \ left (\ frac {t} {n} \ right) + \ sum_ {i = 1} ^ {n} ai \ left (\ frac {t} {n} \ right) ^ 2 = v_ot + \ frac {at ^ 2} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ {n} i [/ matemáticas]

De la fórmula para la suma de los primeros números naturales [matemáticos] n [/ matemáticos], podemos decir que [matemáticos] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} i = \ frac {n (n + 1 )} {2} [/ matemáticas]. Así,

[matemáticas] \ displaystyle x = x_o + v_ot + \ frac {at ^ 2} {2} \ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) [/ math]

Una cosa sobre nuestra aproximación que ya debería tener en cuenta: cuanto mayor sea [matemática] n [/ matemática], mejor será la aproximación. Cuando [math] n [/ math] es un número muy grande, el término [math] \ displaystyle \ frac {1} {n} \ a 0 [/ math]. Cuanto más precisa sea la aproximación, menos significativo será el término [matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {n} [/ matemáticas]. De dónde,

[matemáticas] \ displaystyle x = x_o + v_ot + \ frac {at ^ 2} {2} [/ matemáticas]

Este término se deriva del hecho de que la velocidad es el cambio instantáneo de posición con respecto al tiempo y la aceleración es el cambio instantáneo de velocidad con respecto al tiempo.

Estas dos definiciones, juntas, nos dicen que la aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo.

Ahora, suponga que algún objeto se mueve con aceleración constante, [matemática] a [/ matemática], desde alguna velocidad inicial, [matemática] V_0 [/ matemática] y alguna posición inicial, [matemática] x_0 [/ matemática].

El hecho de que la aceleración sea constante nos dice que si escribimos la posición en función del tiempo denotado [math] x (t) [/ math], entonces [math] \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} x (t) = a [/ matemáticas].

Esto implica que [math] \ frac {d} {dt} x (t) = at + V_0 [/ math]. (El lado derecho es la única función que tiene el valor [matemática] V_0 [/ matemática] en el tiempo cero y tiene una derivada constante igual a [matemática] a [/ matemática].)

Ahora esta ecuación nos dice que [matemática] x (t) = x_0 + V_0 t + \ frac 12 en ^ 2 [/ matemática] porque el lado derecho es la única función que tiene el valor [matemática] x_0 [/ matemática] en tiempo cero y tiene derivada igual a [math] en + V_0 [/ math].

La ecuación que escribió describe la posición de un objeto con aceleración constante en el tiempo, comenzando con una velocidad y posición particulares. El coeficiente de la mitad es simplemente un artefacto de cálculo, particularmente la regla de poder de integración, que es:

[matemáticas] \ int x ^ n dx = \ frac {1} {n + 1} x ^ {n + 1}. [/ matemáticas]

Sabemos que la velocidad es la derivada del tiempo del desplazamiento, y que la aceleración es la derivada del tiempo de la velocidad. Dicho matemáticamente:

[matemáticas] \ frac {du} {dt} = v [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dv} {dt} = \ frac {d ^ 2u} {dt ^ 2} = a [/ matemáticas]

donde [matemáticas] u = x – x_0 [/ matemáticas]

Entonces comenzamos con la aceleración constante, y nos integramos dos veces para obtener el desplazamiento, luego reorganizamos para encontrar la posición. Esto se ilustra de la siguiente manera.

[matemáticas] v = \ int_0 ^ ta dt = en + v_0 [/ matemáticas]

La velocidad inicial [math] v_0 [/ math] toma el lugar de la constante habitual de integración. Nos integramos una vez más, usando la regla de potencia que nos da el coeficiente en cuestión.

[matemáticas] u = x – x_0 = \ int_0 ^ t (en + v_0) dt = \ frac {1} {2} en ^ 2 + v_0t + c [/ matemáticas]

En este caso, nuestra constante de integración es 0 en función de las condiciones iniciales que [math] u (0) = 0. [/ math] Luego, al mover la posición inicial, [math] x_0 [/ math], al otro lado se obtiene fórmula original

Descargo de responsabilidad: Entonces, el resto de ustedes pueden perdonarme por no estar muy familiarizado con la mayoría de los comandos LaTex relacionados con el cálculo. Además, esta respuesta está diseñada para alguien sin amplios conocimientos en física.

Considere la posición de un objeto dada por [math] s (t) [/ math]. No se está moviendo en este momento, por lo que su posición es fácil de describir como [math] s (t) = k, k \ in \ mathbb {R} [/ math] donde k es solo una constante que denota su posición.

Ahora, si comienzas a moverte, no debería ser tan difícil para ti creer que puedo expresar [matemáticas] s (t) = V (t) \ cdot t + s (0) [/ matemáticas]. Entonces, básicamente, lo que dice es que su posición en cualquier momento se denota por su posición original + (el tiempo que viajaba * qué tan rápido viajaba).

¿Cómo pasamos del paso uno al paso dos? Agregamos una dimensión adicional de movimiento para que nuestra ecuación se vuelva un poco más compleja. Lo que realmente hicimos fue integrar nuestra ecuación cuando agregamos esa dimensión extra.

Asumamos ahora que no solo su posición no es constante, sino que tampoco lo es su velocidad. Bueno, ya no podemos usar nuestras ecuaciones anteriores y tenemos que integrarnos una vez más. Entonces, esta vez tenemos que [matemáticas] \ int _ {} ^ {} (V (t) \ cdot t + s (0)) dt = \ dfrac {1} {2} A (t) \ cdot t ^ 2 + V (t) \ cdot t + s (0) [/ matemática]

(Cuando integra la velocidad, obtiene aceleración, cuando integra la posición, obtiene velocidad, etc.)

Y ahí lo tienes. Básicamente es solo integración.

Salud

Este es un problema de un cuerpo que se mueve en línea recta a lo largo de la dirección x con aceleración constante a. Entonces, la velocidad promedio es [matemática] \ displaystyle \ frac {v_ {0} + v_ {t}} {2} [/ matemática], donde [matemática] \ displaystyle v_ {t} = v_ {0} + en [/ matemáticas]. Entonces, la velocidad promedio de lo anterior es [matemática] \ displaystyle v_ {0} + \ frac {1} {2} en [/ matemática]. El factor 2 entra aquí . Pero la velocidad promedio también es igual a [matemática] \ displaystyle \ frac {x-x_ {0}} {t}, [/ matemática] donde [matemática] x-x_ {0} [/ matemática] es el desplazamiento en el tiempo t . Entonces, [math] \ displaystyle \ frac {x-x_ {0}} {t} = v_ {0} + \ frac {1} {2} en [/ math]. Simplificando, [matemática] \ displaystyle x = x_ {0} + v_ {0} t + \ frac {1} {2} en ^ {2}. [/ Matemática]

dv / dt = a; vdv = adx

Integrando ambos lados; obtenemos;

v ^ 2 – u ^ 2 = 2 a (x – x (0))

v = u + en, reemplazar valor;

a ^ 2 t ^ 2 + 2 uat = 2 a (x – x (0))

en ^ 2/2 + ut + x (0) = x

Como ven a / 2, eso se debe a la integración.

Porque si aceleras de cero a x, tu velocidad promedio es la mitad de x.