¿Dónde está el error en el siguiente cálculo?

La razón es simple: S diverge, es decir, va al infinito para una secuencia. Para ilustrar esto, dejemos
[matemáticas] S \ = \ \ infty [/ matemáticas]
luego
[matemáticas] S + 1 \ = \ \ infty [/ matemáticas]
además
[matemáticas] 2S \ = \ \ infty [/ matemáticas]
Por lo tanto,
[matemáticas] S \ = \ 2S + 1 \ = \ \ infty [/ matemáticas]

Consulte este enlace: Propiedades del infinito

También me gustaría hablar un poco más allá del problema original aquí. Si cambiamos la secuencia a la siguiente:
[matemáticas] S \ = \ 2 ^ 0 + 2 ^ {- 1} +2 ^ {- 2} + \ cdots [/ matemáticas]
Entonces podemos reescribir es como
[matemáticas] S \ = \ 2 ^ 0 + 2 ^ {- 1} \ left (2 ^ 0 + 2 ^ {- 1} ++ 2 ^ {- 2} + \ cdots \ right)
= 1 + 2 ^ {- 1} S \\
\ Rightarrow \ (1-1 / 2) S = 1 \\
\ Rightarrow \ S = 2 [/ math]
Esta vez, su estrategia funciona porque S converge. Así que supongo que la lección aquí es que primero debemos verificar si la secuencia converge. Si no es así, entonces no se aplican algunas propiedades.

Tu secuencia es divergente. Entonces, puede terminar una ilusión como [math] \ infty = 1 + 2 \ infty [/ math], entonces [math] \ infty = -1 [/ math].

Teóricamente, tales secuencias divergentes no están definidas, por lo que puede definir lo que quiera siempre que sea lógico. Pero como no matemático al que le gustan las matemáticas, siempre evito tales “innovaciones”.

Una manipulación como esta es perfectamente aceptable, siempre y cuando puedas entender lo que significa la suma infinita.

Ahora, esto podría significar una de dos cosas: la primera opción, más segura, es que su suma infinita es una serie convergente; La segunda opción, más peligrosa, es ampliar su noción de suma infinita para permitir también algún método de cálculo de series divergentes. Las series divergentes pueden tener algunas propiedades desagradables, por lo que no se recomienda esta dirección a menos que tenga mucho cuidado al configurar todo con precisión. Las reglas intuitivas habituales pueden no funcionar.

Voy a ignorar la segunda posibilidad y centrarme en la primera. Ahora, está bastante claro que bajo la noción habitual de ‘convergente’, [matemática] 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots [/ matemática] es cualquier cosa menos. Sin embargo, eso es solo si estamos trabajando en números reales. ¿Quién dijo que éramos?

Hay una noción de números 2-adic (y más generalmente [math] p [/ math] -adic, donde [math] p [/ math] es primo) que se comportan de manera bastante diferente a los reales. En los 2-adics, los números son ‘pequeños’ si son divisibles por grandes potencias de 2. Entonces, por ejemplo, [math] 2 ^ {10} [/ math] es muy pequeño en los 2-adics. 3, por otro lado, es bastante grande. [matemáticas] 2 ^ {- 100} [/ matemáticas] es un número absolutamente enorme.

En 2-adics, [matemáticas] 1 + 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + \ ldots [/ matemáticas] es de hecho convergente, y es igual a -1.

Primero diré que no soy matemático, pero por lo que puedo ver, su respuesta es correcta. Este es un fenómeno común donde las series divergentes infinitas tienen una respuesta finita. Recuerdo algo donde este método específico solo es realmente válido si el número (en su caso 2) estaba entre -1 y 1, pero supongo que alguien más puede darle una mejor respuesta. Métodos como estos ocurren mucho y en física cuántica, los resultados como estos están en resonancia con la realidad.

Desde un punto de vista, el error es suponer que las operaciones que son válidas para series convergentes también son válidas para series divergentes.
Desde otro punto de vista, no hay error, es solo -1 escrito como un número de 2 adic
o en notación de complemento a 2.

Como otros han dicho, no puedes manipular series divergentes como esta.

Cuando se trata de sumas infinitas o no convergentes y comparaciones entre tales sumas, las reglas ordinarias de la aritmética ya no son aplicables. Los errores se colaron en el “…” partes.