Cómo probar [math] \ displaystyle \ mathrm {Aut} (\ mathbb {Q}) = \ mathbb {Q} ^ * [/ math]

Primero suponga que [math] f [/ math] es un automorfismo en [math] \ mathbb {Q} [/ math]. Estableceremos la forma de automorfismo a través de varios pasos y mostraremos que Aut [math] \ mathbb {Q} [/ math] es isomorfo a [math] \ mathbb {Q} ^ * [/ math]. Entrar en los pasos: – Para cualquier automorfismo [matemática] f [/ matemática] habrá un valor de [matemática] f (1) [/ matemática], ¿no es así? Comenzamos con eso. Para enteros [matemática] n [/ matemática], [matemática] f (n) = f (n • 1) = f (1 + 1 + .. + 1) (n [/ matemática] veces). [matemática] f [/ matemática] siendo homomorfismo, [matemática] f (1 + 1 + .. + 1) = f (1) + f (1) + .. + f (1) = n \ veces f (1 )[/matemáticas]. Por lo tanto, para todos los enteros [math] f (x) = xf (1) [/ math]. Deje [math] x \ in \ mathbb {Q} [/ math]. Entonces [math] x = \ frac {p} {q} [/ math], donde [math] p \ in \ mathbb {Z}, q \ in \ mathbb {N} [/ math]. Entonces [matemáticas] x • q = p [/ matemáticas]. Considere [matemáticas] f (x • q) [/ matemáticas]. Esto es igual a [matemáticas] f (p) [/ matemáticas]. [matemática] f [/ matemática] es homomorfismo y [matemática] q [/ matemática] es número natural, [matemática] f (x • q) = q \ veces f (x) [/ matemática] y [matemática] p [ / math] siendo entero, [math] f (p) = p \ times f (1) [/ math]. También [math] f (x • q) = f (p) [/ math] que da, [math] q \ times f (x) = p \ times f (1), f (x) = \ dfrac {pf (1)} {q} = \ frac {p} {q} f (1) = xf (1) [/ math]. Por lo tanto, tenemos [math] f (x) = xf (1) \ vee x \ in \ mathbb {Q} [/ math] como la forma general de homomorfismo de [math] \ mathbb {Q} [/ math] a [ matemáticas] Q [/ matemáticas]. Para cualquier elemento distinto de cero de [math] \ mathbb {Q} [/ math], tenemos valores diferentes para [math] f (1) [/ math]. Por lo tanto, Aut [math] (\ mathbb {Q}) = \ {x • a, a \ ne 0, a \ in \ mathbb {Q} \} = \ {x • a, a \ in \ mathbb {Q} ^ * \} [/ math] que es da un isomorfismo de Aut [math] \ mathbb {Q} [/ math] a [math] \ mathbb {Q} ^ * [/ math]