La paradoja de Russell ya no es una paradoja. Es probable que haya encontrado este concepto al hablar de la teoría de conjuntos. Entonces, comencemos con un poco de actualización.
Érase una vez, un grupo de personas quería saber si tenían suficiente comida para alimentar a su grupo de caza y se les ocurrió contar para comunicar cuánto hay de algo. Finalmente, descubrieron cuántos animales más necesitarían y, por lo tanto, resta. Después de un tiempo llegamos a la antigua Grecia. Y ahí es donde las cosas se ponen raras porque presentamos a los matemáticos. Una vez que una civilización obtiene suficiente comida y dinero, no todos necesitan hacer un “trabajo productivo”, como la agricultura o la fabricación de herramientas. Y en Grecia, mucha gente inteligente pensó que los números y las formas eran geniales e inventaron muchas cosas geniales como pruebas.
Los matemáticos somos un grupo extraño y siempre queremos saber “por qué”, como el proverbial niño de dos años. Cuando Newton miró a la física y preguntó “por qué”, obtuvo cálculo. Cuando Pascal perdió en las cartas y preguntó “por qué”, obtuvimos probabilidad. * *
Así que eventualmente queríamos hablar sobre colecciones de objetos de manera rigurosa. Entonces se nos ocurrieron conjuntos. Después de que Newton lo había hecho tan bien sin hacer pruebas formales, las matemáticas no estaban tan preocupadas por el rigor total. Entonces, una vez que se les ocurrieron los sets, simplemente asumieron que las cosas funcionarían. “Por qué, por supuesto, la idea de una colección de todos los patos en la Tierra tiene sentido. Obviamente es un conjunto”. Este sistema ahora se conoce como * Naive * Set Theory. La razón de esto es que, bueno, los matemáticos estaban siendo ingenuos al suponer que todos los conjuntos que puedes concebir necesariamente existen.
Russel, el creador de Russel’s Paradox, ideó un conjunto que no podría existir. Sea R el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen. ¿R es miembro de R? Ignora por el momento lo que realmente * significa * ser un conjunto que te contenga a ti mismo. En la ingenua teoría de conjuntos, por supuesto, podemos ignorarlo. Supongamos que R es un miembro de R. Pero R solo contiene conjuntos que no se contienen a sí mismos. Entonces R no es miembro de R. Pero si R no es miembro de R, entonces es un conjunto que no se contiene a sí mismo, por lo que debe ser miembro de R. Esta es la paradoja de Russel porque R debe estar en R y el complemento de R (es decir, R está en R y no en R). Por la Ley del Medio Excluido (las declaraciones deben ser verdaderas o falsas y no falsas = verdaderas) esto es ilógico. Hubo otros problemas con Naive Set Theory, pero este es el principal defecto.
Esto causó problemas para las matemáticas porque se descubrió antes que todos los números se pueden formular a partir de conjuntos, y que la definición es “agradable” y “buena”, y queremos que sea verdadera. Entonces los matemáticos Zermelo y Frankael crearon el sistema de axiomas ZF (los axiomas de Zermelo Fraenkel). Más tarde, cuando el Axioma de Elección fue aceptado como un axioma legítimo, ZFC se convirtió en el sistema de axiomas “estándar” para la teoría de conjuntos.
Espero que lo anterior haya explicado el interés en la Paradoja de Russel y también lo haya explicado a fondo. Me gusta mucho.
Como ejercicio, considere una ciudad que tiene un barbero. El barbero tiene la regla de que se afeita a todos los hombres de la ciudad que no se afeita a sí mismo. ¿Quién afeita al barbero?
* La explicación histórica simplificada del descubrimiento no tiene matices
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