Hay una hermosa matemática del área firmada. Centrémonos en el plano cartesiano. Vamos a derivar una fórmula para el área de cualquier polígono dadas las coordenadas de sus vértices.
La idea del área con signo de un polígono es que el área depende del orden de los vértices. Denotémoslo [math] \ mathcal {A} (\ textit {list-of-vertices}). [/ Math]
Tomemos el ejemplo simple de un triángulo [matemático] ABC [/ matemático], donde los vértices se enumeran en sentido antihorario, en el orden que generalmente consideramos ángulo positivo. En ese caso, el área firmada es igual al área, [matemática] \ matemática {A} (ABC)> 0 [/ matemática]. El mismo triángulo con sus vértices listados en el sentido de las agujas del reloj tendría un área con signo negativo: [matemática] \ matemática {A} (BAC) = – \ matemática {A} (ABC) [/ matemática]. Sencillo.
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Ahora definamos el área firmada de un lado, [matemática] \ matemática {A} (P_1 P_2), [/ matemática] donde [matemática] P_1 = (x_1, y_1) [/ matemática] y [matemática] P_2 = (x_2 , y_2). [/ math] ¿Cómo puede un segmento tener un área? Solo lo vamos a definir como el área con signo del triángulo [matemática] OP_1P_2 [/ matemática], donde [matemática] O [/ matemática] es el origen: [matemática] O = (0,0) [/ matemática ]
En la figura, seguramente tenemos una configuración en sentido antihorario cuando estamos en el primer cuadrante [matemática] x_1> x_2> 0 [/ matemática] y [matemática] 0 <y_1 <y_2. [/ Matemática] Cuando hayamos terminado, debemos asegurarnos obtenemos un área positiva en este caso.
El triángulo cabe en un rectángulo con una esquina [matemática] (0,0) [/ matemática] y la otra [matemática] (x_1, y_2) [/ matemática], y dos de los lados son partes de la [matemática] x [/ math] y [math] y [/ math] ejes. Entonces, el área de nuestro triángulo es el área del rectángulo menos el área de tres triángulos rectángulos. Uno de los triángulos rectángulos tiene ancho [matemático] x_1 [/ matemático] y alto [matemático] y_1 [/ matemático], uno tiene ancho [matemático] x_2 [/ matemático] y alto [matemático] y_2 [/ matemático], y el el último tiene ancho [matemático] x_1-x_2 [/ matemático] y alto [matemático] y_2-y_1. [/ matemático]
Es muy satisfactorio hacer el álgebra en esta área (juego de palabras) porque los resultados generalmente se simplifican muy bien. Por lo tanto, es posible que desee probar esto usted mismo antes de seguir leyendo.
[matemática] \ matemática {A} (P_1 P_2) = \ matemática {A} ((x_1, y_1) (x_2, y_2)) = x_1 y_2 – \ frac 1 2 (x_1 y_1 + x_2 y_2 + (x_1 – x_2) (y_2 – y_1)) [/ math]
[matemáticas] = \ frac 1 2 (2 x_1 y_2 – x_1 y_1 – x_2 y_2 – x_1 y_2 + x_2 y_2 + x_1 y_1 – x_2 y_1) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ matemáticas {A} (P_1 P_2) = \ frac 1 2 (x_1 y_2 – x_2 y_1) [/ matemáticas]
Como dije, se simplifica muy bien. Si los puntos satisfacen las desigualdades anteriores, esto es positivo, por lo que obtuvimos el signo correcto.
[matemática] \ matemática {A} (P_2 P_1) = \ frac 1 2 (x_2 y_1 – x_1 y_2) = – \ frac 1 2 (x_1 y_2 – x_2 y_1) = – \ matemática {A} (P_1 P_2) [/ matemáticas]
A continuación, queremos encontrar el área con signo de un triángulo general, [math] \ mathcal {A} (P_1 P_2 P_3). [/ Math] Va a tener la misma área que ese triángulo traducido para que [math] P_3 [/ matemáticas] está en el origen. (Una vez más, es posible que desee intentarlo usted mismo antes de seguir leyendo). En otras palabras:
[matemática] \ matemática {A} (P_1 P_2 P_3) = \ matemática {A} ((x_1, y_1) (x_2, y_2) (x_3, y_3)) [/ matemática]
[matemáticas] = \ matemáticas {A} ((x_1-x_3, y_1-y_3) (x_2-x_3, y_2-y_3) (0,0)) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ matemáticas {A} ((x_1-x_3, y_1-y_3) (x_2-x_3, y_2-y_3)) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac 1 2 ((x_1-x_3) (y_2-y_3) – (x_2-x_3) (y_1 – y_3)) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac 1 2 (x_1 y_2 -x_3 y_2- x_1 y_3 – x_3 y_3 – x_2 y_1 + x_3 y_1 + x_2 y_3 – x_3 y_3) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac 1 2 [(x_1 y_2 – x_2 y_1) + (x_2 y_3 -x_3 y_2) + (x_3 y_1 – x_1 y_3)] [/ matemáticas]
[matemática] \ matemática {A} (P_1 P_2 P_3) = \ matemática {A} (P_1 P_2) + \ matemática {A} (P_2 P_3) + \ matemática {A} (P_3 P_1) [/ matemática]
Frio. Descubrimos que el área con signo de un triángulo es la suma de las áreas con signo de todos sus lados. Eso va a ser cierto para los polígonos en general. Puedes probarlo por inducción. Simplemente hagamos el paso de un triángulo a un cuadrilátero.
Digamos que ya tenemos el triángulo [matemáticas] P_1 P_2 P_3 [/ matemáticas] y ahora agregamos un cuarto punto, [matemáticas] P_4 [/ matemáticas]. Mantengámoslo en sentido antihorario en el orden. El área de nuestro cuadrilátero es solo la suma de las áreas de los dos triángulos [matemática] P_1 P_2 P_3 [/ matemática] y [matemática] P_4 P_1 P_3 [/ matemática]. En nuestra figura, ambos son en sentido antihorario (aunque el resultado es completamente general). Una vez más, es posible que desee resolver esto usted mismo primero.
[matemática] \ matemática {A} (P_1 P_2 P_3 P_4) = \ matemática {A} (P_1 P_2 P_3) + \ matemática {A} (P_4 P_1 P_3) [/ matemática]
[math] = \ mathcal {A} (P_1 P_2) + \ mathcal {A} (P_2 P_3) + \ mathcal {A} (P_3 P_1) + \ mathcal {A} (P_4 P_1) + \ mathcal {A} ( P_1 P_3) + \ mathcal {A} (P_3 P_4) [/ math]
Tenga en cuenta que aquí es donde el área firmada funciona bien. El área del lado ahora en el interior del cuadrilátero, [matemática] P_1 P_3 [/ matemática], ingresa negativamente como [matemática] \ matemática {A} (P_3 P_1) = – \ matemática {A} (P_1 P_3) [ / math] desde el primer triángulo y positivamente desde el segundo, por lo que se cancela.
[matemática] \ matemática {A} (P_1 P_2 P_3 P_4) = \ matemática {A} (P_1 P_2) + \ matemática {A} (P_2 P_3) + \ matemática {A} (P_3 P_4) + \ matemática {A} (P_4 P_1) [/ matemáticas]
La generalización a más lados funciona de la misma manera.
Espero que hayan disfrutado esta pequeña lección sobre áreas firmadas. Ahora puede calcular el área de cualquier polígono dadas las coordenadas de sus vértices.
