Entonces, antes que nada, la geometría de un toro es aburrida. Las curvas elípticas son todas geométricamente tori (el plural de toro), a pesar de que hay infinitas curvas elípticas diferentes. (Entonces, los aspectos principales de las curvas elípticas no están en su geometría, sino en su “estructura compleja” o “geometría algebraica”).
También “aritmética modular” se refiere a algo muy básico, mientras que “funciones modulares” es algo bastante complicado. La conexión entre los dos es tangencial en el mejor de los casos.
Ahora para responder la pregunta: Para cada función modular, puede asociar una “función L” de una manera muy particular. Esto es solo alguna función. El hecho de que se llame una “función L” es solo para enfatizar que está utilizando un algoritmo muy particular para obtener esa función de una función modular. Estas funciones L tienen propiedades muy agradables que se entienden muy bien.
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Para cada curva elíptica también puede asociar una función, que, de forma sugerente, también se denomina “función L”. Un proiri, estas dos formas de obtener funciones están completamente separadas. Estas funciones L no se entienden muy bien.
¡El teorema principal (debido a Wiles y Conrad) es que estas dos formas de obtener funciones (funciones L de funciones modulares y funciones L de curvas elípticas) dan las mismas funciones! Entonces, las funciones L de las curvas elípticas, que a priori podrían ser bastante malas, en realidad son muy buenas porque provienen de funciones modulares.
(Por supuesto, estoy falsificando muchos detalles, ¡así que no tomes lo que digo literalmente!)
Esta forma de decirlo parece muy rara. El punto es que se conjeturó como una especie de generalización de las teorías existentes. En particular, esto generaliza la teoría de campo de clase, donde las “funciones L” aparecieron por primera vez.
Todo esto es muy, muy, muy complicado. Si realmente quieres entenderlo, estamos hablando de años aquí.
