¿Cuáles son algunas pruebas falsas de que x = y donde x e y no son lo mismo?

Tales “pruebas” engañan al lector al incluir un paso que no es válido, pero lo disfrazan para que esto no sea aparente. Pueden considerarse algo frívolos, pero en realidad examinarlos y comprenderlos es muy importante como útil, porque no es raro que un matemático ponga adelante, con toda honestidad y sinceridad, una “prueba” que parece sólida pero que resulta incorporar un paso que no es válido y, por lo tanto, la prueba resulta no ser válida. No siempre es obvio cómo ocurre esto, y algunas “pruebas” se han mantenido durante años antes de que se descubriera que contienen fallas, por lo que estar al tanto de cómo pueden ser esas fallas es útil y valioso.

Ejemplo: dividir por cero

Muchas “pruebas falsas” ocultan una división de ambos lados por cero. Aquí hay un ejemplo comúnmente circulado:

Suponga que [math] x \ ne 0 [/ math], y tome [math] x = y [/ math].

[matemática] \ begin {align} \ why \ & xy = y ^ 2 && \ text {multiplicando ambos lados por} y \\ \ why \ & xy – x ^ 2 = y ^ 2 – x ^ 2 && \ text {restando} x ^ 2 \ text {desde ambos lados} \\ \ por lo tanto \ & x (y – x) = (y – x) (y + x) && \ text {factorización} \\ \ por lo tanto \ & {\ scriptsize \ frac { x} {y}} (y - x) = {\ scriptsize \ frac {y + x} {y}} (y - x) && \ text {dividiendo ambos lados por} y \\ \ por lo tanto \ & {\ scriptsize \ frac {x} {y}} = {\ scriptsize \ frac {y + x} {y}} && \ text {dividiendo ambos lados por} (y – x) \\ \ por lo tanto \ & 0 + {\ scriptsize \ frac {x} {y}} = 1 + {\ scriptsize \ frac {x} {y}} && \ text {dividiendo cada término} \\ \ por lo tanto \ & 0 = 1 && \ text {restando} {\ scriptsize \ frac {x} {y}} \ text {desde ambos lados} \ end {align} [/ math]

¿Viste el paso no válido?

Ejemplo: agrupar términos en una serie que no es absolutamente convergente

Cuando una serie es “absolutamente convergente”, los términos se pueden agrupar y reorganizar sin alterar la suma límite. Sin embargo, esto no sucede para las series en general, y esto se puede usar para hacer “pruebas” que parecen plausibles. Aquí hay un ejemplo:

Establecer [matemática] S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ \ infty (-1) ^ k [/ math]

Entonces [matemáticas] S = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + \ ldots = 0 + 0 + 0 + \ ldots = 0 [/ matemáticas]

Pero [matemáticas] S = 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) – \ ldots = 1 – 0 – 0 – 0 – \ ldots = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto 0 = 1 [/ matemáticas]

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