Bien. Primero consideramos qué relación de equivalencia (digamos [math] \ equiv [/ math]) sobre algún conjunto [math] S [/ math] es. Básicamente es cualquier relación para la que se mantienen las siguientes tres cosas.
- Reflexividad: [matemáticas] \ forall a (a \ en S \ Rightarrow a \ equiv a) [/ math].
- Simetría: [matemáticas] \ forall a \ forall b (a, b \ en S \ Rightarrow (a \ equiv b \ Rightarrow b \ equiv a)) [/ math].
- Transitividad: [matemática] \ forall a \ forall b \ forall c (a, b, c \ en S \ Rightarrow ((a \ equiv b \ wedge b \ equiv c) \ Rightarrow a \ equiv c)) [/ math] .
También se puede demostrar que cada relación de equivalencia en un conjunto no vacío divide ese conjunto en subconjuntos no vacíos de intersección de elementos entre los cuales se establece la relación de equivalencia. Estos conjuntos se denominan clases de equivalencia.
Se puede ver claramente que la igualdad es una relación de equivalencia. Sin embargo, esta relación es muy específica, ya que la igualdad divide cualquier conjunto en el que se estableció en clases de equivalencia que contienen exactamente un elemento.
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Espero que ayude.
