Primero permítanme repetir el teorema de divergencia de Gauss.
Dejar
[math] f: \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ n [/ math] será un campo vectorial continuamente diferenciable
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[math] M \ subset \ mathbb {R} ^ n [/ math] be a [math] C ^ 1 [/ math] colector liso compacto en piezas
[matemática] n: \ parcial M \ a \ mathbb {R} ^ n [/ matemática] sea un campo de unidad normal externo.
Entonces ahora el teorema de divergencia dice
[matemáticas] \ displaystyle \ int_Mdiv (f) d \ lambda (x) = \ int _ {\ partial M} \ langle f (x), n (x) \ rangle dS (x) [/ math]
Eso me parece mejor.
Puede usarlo tanto para pruebas teóricas de matemáticas, como para derivaciones físicas Y cálculos.
Por ejemplo, podemos calcular el flujo a través de un objeto a través de la divergencia del campo vectorial. Esto suele ser más fácil y útil cuando se realiza un curso de Electro-dinámica / magnetismo. El físico lo usa todo el tiempo.
Para fines matemáticos teóricos, podemos probar, por ejemplo, la segunda fórmula verde
para [math] f, g \ en C ^ 2 (G, \ mathbb {R}) [/ math] con [math] G [/ math] como una región lisa por partes.
[matemáticas] \ displaystyle \ int_G f \ Delta gg \ Delta f = \ int _ {\ partial G} f \ nabla g -g \ nabla f [/ math]
Hacemos esto al notar que
[matemáticas] div (f \ nabla g) = \ langle \ nabla f, \ nabla g \ rangle + f \ Delta g [/ math]
y de allí se deduce que
[math] div (f \ nabla gg \ nabla f) = f \ Delta g -g \ Delta f [/ math] (*)
Entonces comenzamos desde
[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {\ parcial G} \ langle f \ nabla gg \ nabla f, n \ rangle dS [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {\ parcial G} \ langle f \ nabla g, n \ rangle – \ langle g \ nabla f, n \ rangle dS [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ int_G div (f \ nabla g) -div (g \ nabla f) dS [/ matemáticas]
[matemática] \ displaystyle \ int_G f \ Delta g -g \ Delta fdS [/ math] obtenida de (*)
Lo cual es útil para estudiar ecuaciones diferenciales y funciones armónicas.
