Para aquellos que no saben qué es un tensor, aquí hay dos definiciones:
Un tensor es “Una entidad abstracta representada por una matriz de componentes que son funciones de coordenadas de tal manera que, bajo una transformación de coordenadas, los nuevos componentes están relacionados con la transformación y con los componentes originales de una manera definida”. (De la OED).
Otra definición:
Un tensor es “un objeto matemático análogo pero más general que un vector, representado por una matriz de componentes que son funciones de las coordenadas de un espacio”.
Con cada punto en el espacio, podemos asociar un conjunto de escalares llamado campo escalar, y un grupo de vectores llamado campo vectorial, y también podemos asociar un conjunto de tensores que se llamaría un campo tensorial.
Un campo tensorial está relacionado con la noción de un tensor que varía de un punto a otro.
Un escalar es un tensor de orden o rango cero, y un campo escalar es un campo tensor de orden cero.
Un vector es un tensor de orden o rango uno, y un campo vectorial es un campo tensor de orden uno.
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Ahora para algunas anotaciones matemáticas:
[math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] es un espacio vectorial que representa las n-tuplas de reales bajo la suma de componentes y la multiplicación escalar.
Una variedad es la extensión natural de una superficie a dimensiones más altas y a espacios más generales que [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math].
Una variedad puede considerarse solo una hiperesuperficie en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math].
En términos simplificados, un campo tensor de tipo [matemático] \ left (\ begin {array} {c} r \\ s \\\ end {array} \ right) [/ math] en un múltiple M es un mapeo T que toma r campos diferenciales y s campos vectoriales en M para funciones con valores reales f de clase [matemática] C ^ k [/ matemática] (que tiene derivadas parciales continuas de cierto orden k en cada punto) en [matemáticas] \ mathbb {R} ^ m [/ matemáticas].
Usando algunos símbolos matemáticos, se puede decir que un campo vectorial V en un múltiple M se considera como un tipo- [matemático] \ left (\ begin {array} {c} 1 \\ 0 \\\ end {array} \ right) [/ math] campo tensor a través de un mapeo