Hay muchos sistemas de axiomas, todos los cuales son construidos por humanos. No hay un sistema de axioma “esencial” o “básico”. Sabemos si una declaración es un axioma porque miramos el sistema axiomático (también conocido como teoría ) que estamos usando y vemos si esa declaración está en la lista de axiomas *.
Si una declaración no se puede probar, entonces no se puede probar. Resulta difícil en general saber si esto es cierto.
*: En realidad, es posible tener un sistema axiomático en el que los axiomas no se hacen explícitos; por ejemplo, uno podría tener la teoría [matemática] T [/ matemática] definida por “[matemática] s [/ matemática] es un axioma en [matemática] T [/ matemática] [matemática] \; \ Leftrightarrow \; s [/ matemática] es verdadera en el modelo estándar [matemática] \ matemática {N} [/ matemática] “. Sin embargo, tal teoría no es muy útil, y rara vez se usa, excepto como ejemplo.
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