A2A: No, no exactamente.
Un teorema es un hecho. Pero los teoremas siempre se dan en el contexto de un conjunto particular de axiomas o postulados, y a menudo se incluyen condiciones adicionales. Tienen la forma implícita de si … entonces .
Un axioma fue concebido originalmente como una declaración que fue aceptada por todos sin controversia. Se suponía que un axioma era tan obvio que no se esperaban ni necesitaban pruebas. Fue considerado como un hecho.
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Hoy, casi todos los viejos axiomas han sido desafiados. Ramas enteras de las matemáticas se basan en axiomas alternativos. Un teorema es solo un hecho en el contexto de los axiomas en los que se basa. Los axiomas se tratan más como postulados, se aceptan solo tentativamente y definen una rama de las matemáticas.
Un primer axioma de la geometría es que las líneas paralelas nunca se cruzan. No creo que se haya identificado explícitamente como un axioma; parecía correcto en ese momento dejar que fuera parte de la definición de la palabra paralela . Nadie anticipó entonces que podría construirse una nueva geometría sobre el axioma alternativo de que las líneas paralelas son imposibles, a menos que describa mejor nuestro universo. La antigua geometría ahora se llama geometría euclidiana .
Del mismo modo, la suma y la multiplicación probablemente se llamaron definiciones al principio. Ahora son axiomas del campo de los números reales. Un par diferente de axiomas para la suma y la multiplicación definen el campo de los números complejos.
