Un tensor métrico se usa esencialmente cuando se miden distancias, proporciona información sobre cómo calcular la distancia entre dos puntos dados y sobre las características del espacio en el marco de cualquier sistema de coordenadas arbitrariamente dado.
Daré un ejemplo simple para explicar el significado del tensor métrico.
Sea M un punto con coordenadas [matemáticas] x ^ k [/ matemáticas] y N un punto cercano con coordenadas [matemáticas] x ^ k + \ text {dx} ^ k [/ matemáticas], vea la imagen a continuación (hecha con Mathematica y Photoshop).
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La distancia infinitesimal MN se denota por ds , también se llama elemento de línea o elemento de longitud.
Refiriéndose al sistema cartesiano ortogonal en la imagen, se puede ver desde el paralelepípedo elemental en M que:
[matemáticas] \ text {ds} ^ 2 = \ left (\ text {dx} ^ 1 \ right) ^ 2 + \ left (\ text {dx} ^ 2 \ right) ^ 2 + \ left (\ text {dx } ^ 3 \ derecha) ^ 2 [/ matemáticas]
La ecuación anterior es un caso especial de la forma cuadrática más general:
[matemáticas] \ displaystyle \ text {ds} ^ 2 = g _ {\ text {ij}} \ text {dx} ^ i \ text {dx} ^ j [/ math]
La primera expresión más simple de [math] \ text {ds} ^ 2 [/ math] para el espacio euclidiano tridimensional se puede escribir como:
[matemática] \ text {ds} ^ 2 = [/ matemática] [matemática] g_ {11} [/ matemática] [matemática] \ izquierda (\ text {dx} ^ 1 \ derecha) ^ 2 [/ matemática] [matemática ] + g_ {22} [/ matemáticas] [matemáticas] \ izquierda (\ text {dx} ^ 2 \ derecha) ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] + g_ {33} [/ matemáticas] [matemáticas] \ izquierda ( \ text {dx} ^ 3 \ right) ^ 2 [/ math]
donde los tres componentes del tensor métrico están dados por:
[matemáticas] g_ {11} = g_ {22} = g_ {33} = 1 [/ matemáticas]
o también:
[matemáticas] g_ {\ text {ij}} = \ delta _ {\ text {ij}} [/ matemáticas]
donde [math] \ delta _ {\ text {ij}} [/ math] es el delta de Kronecker.
En este caso también podemos escribir:
[matemática] \ displaystyle \ text {ds} ^ 2 = [/ matemática] [matemática] \ delta _ {\ text {ij}} [/ matemática] [matemática] \ text {dx} ^ i \ text {dx} ^ j [/ matemáticas]
Aquí el tensor métrico se puede representar en la siguiente forma simple (matriz):
Y la fórmula para [math] \ text {ds} ^ 2 [/ math] en el caso de coordenadas cartesianas ortogonales se puede obtener mediante los siguientes cálculos de matriz:
El tensor métrico también es necesario para definir la distancia a lo largo de una curva en otros sistemas de coordenadas, como esféricos o cilíndricos, etc.
Como otro ejemplo, la métrica euclidiana para coordenadas esféricas puede ser igual a:
[matemáticas] \ text {ds} ^ 2 = \ left (\ text {dx} ^ 1 \ right) ^ 2 + \ left (x ^ 1 \ right) ^ 2 \ left (\ text {dx} ^ 2 \ right ) ^ 2 + \ left (x ^ 1 \ sin \ left (x ^ 2 \ right) \ right) ^ 2 \ left (\ text {dx} ^ 3 \ right) ^ 2 [/ math]
donde [matemáticas] \ left (x ^ 1, x ^ 2, x ^ 3 \ right) = (r, \ theta, \ phi) [/ math]
Y los componentes del tensor métrico para coordenadas esféricas están dados por:
[matemáticas] g_ {\ text {ij}} = \ left (\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r ^ 2 & 0 \\ 0 & 0 & r ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) \\\ end {array} \ right) [/ math]
Los componentes del tensor métrico.
[matemáticas] g_ {\ text {jk}} = g_ {\ text {jk}} \ left (x ^ 1, x ^ 2, \ text {…}, x ^ n \ right) = g_ {\ text {kj }}[/matemáticas]
son funciones de las coordenadas.
Desde otro punto de vista, el tensor métrico aparece en cálculos que involucran el cuadrado del elemento de longitud de arco en geometría diferencial y en coordenadas curvilíneas generales.
Sea r una función vectorial que define una superficie dada. Tomando :
Obtenemos:
[math] g_ {\ text {pq}} [/ math] se llaman coeficientes métricos y son simétricos. Representan los componentes de un tensor covariante de rango 2.
Si [math] g_ {\ text {pq}} = 0 [/ math] para [math] p \ neq q [/ math], el sistema de coordenadas es ortogonal.
Las entidades
representar vectores tangentes a las líneas de coordenadas en una superficie dada. Vea la imagen a continuación (hecha con la ayuda de Photoshop) para ver una ilustración:
El elemento de línea [math] \ text {ds} ^ 2 [/ math] puede considerarse como la norma de un vector de desplazamiento infinitesimal [math] \ text {dx} ^ i [/ math].
El tensor métrico contravariante tiene componentes [matemática] g ^ {\ text {pq}} [/ matemática] tal que [matemática] g ^ {\ text {pq}} g_ {\ text {qr}} = \ delta _r ^ p [/ math], es la matriz inversa del tensor covariante [math] g_ {\ text {pq}} [/ math].
El tensor métrico juega un papel importante en la teoría de la relatividad. En Relatividad general contiene la información necesaria para describir la curvatura de una variedad (geometría de Riemann). Representa y está relacionado con el campo gravitacional.
