¿Es la igualdad [matemáticas] {e_ \ mu} ^ a {e_a} ^ {\ nu} = {g_ \ mu} ^ \ nu [/ math] verdadero dado [matemáticas] {e_ \ mu} ^ a \ eta_ {ab } {e ^ b} _ \ nu = g _ {\ mu \ nu} [/ math]?

Sí, esas ecuaciones son ciertas. Los tétrados o vierbeins son la parte más hermosa de la relatividad general de Cartan. No podía creer lo hermosos que eran cuando los conocí. La idea de que podría tomar algo tan central para GR como la métrica y simplemente … raíz cuadrada. Todavía me noquea.

También:

[matemáticas] {e_ \ mu} ^ a {e_a} ^ {\ nu} = e _ {\ mu a} e ^ {a \ nu} = {g_ \ mu} ^ \ nu = {\ delta_ \ mu} ^ \ nu [/ math]

[matemáticas] {e_ \ mu} ^ a {e_ \ nu} _a = g _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas]

[matemáticas] g _ {\ mu \ nu} g ^ {\ nu \ rho} = g_ \ mu ^ \ nu g_ \ nu ^ \ rho = \ delta_ \ mu ^ \ nu \ delta_ \ nu ^ \ rho = \ delta_ \ mu ^ \ rho = g _ {\ mu} ^ \ rho [/ math]

[matemáticas] {e_ \ mu} ^ a {e ^ \ mu} ^ b = e ^ {\ mu a} {e_ \ mu} ^ b = \ eta ^ {ab} [/ matemáticas]

[matemáticas] {e_ \ mu} ^ a {e ^ \ mu} _a = {\ delta_ \ mu} ^ \ mu = \ eta_a ^ a = \ delta_a ^ a = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] e _ {\ mu a} = {e_ \ mu} ^ b {\ eta_ {ab}} [/ matemáticas]

[matemáticas] g ^ {\ mu \ nu} = g ^ {\ nu \ mu} [/ matemáticas]

[matemáticas] e _ {\ mu a} = e_ {a \ mu} [/ matemáticas]

Se supone la suma de Einstein: los índices repetidos en una expresión se suman.

Entonces, donde A es cualquier tensor:

[matemáticas] e _ {\ mu a} A ^ \ mu = e ^ \ mu_a A_ \ mu = A_a [/ matemáticas]

[matemáticas] e _ {\ mu a} A ^ a = e_ \ mu ^ a A_a = A_ \ mu [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ mu a} A_a = e ^ \ mu_a A ^ a = A ^ \ mu [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ mu a} A_ \ mu = e_ \ mu ^ a A ^ \ mu = A ^ a [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ mu a} A_ \ mu ^ \ nu = e_ \ mu ^ a A ^ {\ mu \ nu} = A ^ {a \ nu} [/ matemáticas]

[matemáticas] g _ {\ mu \ nu} A ^ \ mu = A_ \ nu [/ matemáticas]

[matemáticas] g ^ {\ mu \ nu} A_ \ nu = A ^ \ mu [/ matemáticas]

[matemáticas] e_ \ mu ^ ae ^ {\ nu} _a A_ \ nu = e_ \ mu ^ a (e ^ {\ nu} _a A_ \ nu) = e_ \ mu ^ a A_a = A_ \ mu [/ math]

Gracias Michael. Como lo ha hecho, el truco consiste en que [matemáticas] e_ \ mu ^ a e_a ^ \ nu [/ matemáticas] actúe en una forma única y luego observe que es lo mismo que [matemáticas] g_ \ mu ^ \ nu [ / math] actuando en una forma.

Como la contracción de los índices es asociativa,

[matemáticas] \ frac {\ partial y ^ a} {\ partial x ^ \ mu} \ frac {\ partial x ^ \ nu} {\ partial y ^ a} A_ \ nu = \ frac {\ partial x ^ \ nu } {\ partial x ^ \ mu} = g ^ \ nu_ \ mu A_ \ nu = A_ \ mu [/ math]

o

[matemáticas] \ frac {\ partial y ^ a} {\ partial x ^ \ mu} \ frac {\ partial x ^ \ nu} {\ partial y ^ a} A_ \ nu = \ frac {\ partial y ^ a} {\ parcial x ^ \ mu} A_a = A_ \ mu = g ^ \ nu_ \ mu A_ \ nu [/ math]

son equivalentes

Yo uso x para las coordenadas habituales, y y para las coordenadas normales de Riemann.

More Interesting

Sabemos que las fuerzas se separaron en las primeras etapas de la formación del Universo, pero ¿qué pasa con el tiempo? ¿Es posible que fuera un tipo de bestia completamente diferente en las configuraciones extrañas y muy peculiares del Universo temprano?

Cómo diferenciar entre una línea recta y una trayectoria curva mientras se viaja en el espacio sin tener ningún punto de referencia

¿Qué es exactamente la teoría de la relatividad general? ¿Se puede explicar en una forma ligeramente simplificada?

¿Cómo pueden fusionarse los agujeros negros si la caída de cada agujero negro nunca puede llegar más allá de los horizontes de eventos respectivos en nuestro tiempo?

¿El espacio-tiempo solo contiene campos cuánticos o está construido a partir de ellos? En general, ¿cuál es el significado del espacio-tiempo en QFT?

¿Cómo exhibe el cristal de espacio-tiempo TTSB?

¿Cómo difiere la mecánica cuántica de la relatividad general?

¿Cómo envejecería la cabeza de alguien en comparación con sus pies cuando esté cerca de un agujero negro?

¿Nuestros cuerpos humanos doblan el espacio-tiempo cuando entramos en un campo gravitacional o lo incorporamos a uno? ¿Es así como funciona la gravedad?

¿Cuál es la 'teoría de la relatividad' para idiotas absolutos (porque simplemente no entiendo)?

¿Es posible que un fotón dentro del horizonte de eventos se rebote usando espejos?

¿Cómo podemos deshacernos de la singularidad en un agujero negro?

¿Cómo se puede deducir la ecuación de campo de Einstein del concepto de gravedad emergente?

¿Hay alguna predicción de la relatividad general que no coincida con los resultados experimentales?

Dado que la relatividad general se basa en tensores, ¿alguien ha intentado usar Tensorflow para el cálculo de GR? ¿Qué falta en el marco para enseñar GR?