¿Qué es una representación de un grupo?

Gracias por A2A, Brando.

En lugar de estudiar directamente algún grupo (abstracto) [matemático] G [/ matemático], se puede obtener una idea de su estructura al mapearlo a grupos de automorfismo de ciertos espacios de vectores [matemáticos] [/ matemáticos].
Recuerde que los automorfismos de un espacio vectorial dimensional finito [matemática] V [/ matemática] corresponden a matrices regulares sobre [matemática] k [/ matemática] después de elegir una base.

Dicho mapa que respeta la estructura de grupo de [matemáticas] G [/ matemáticas], es decir, debe ser un homomorfismo de grupo, se denomina representación de [matemáticas] G [/ matemáticas].

Me he restringido intencionalmente a espacios vectoriales ya que este caso básico lleva a teorías no triviales que pueden discutirse prolíficamente.

Si el espacio de representación [matemática] V [/ matemática] es un espacio vectorial de dimensión finita [matemática] k [/ matemática], puede pensar en una representación como una acción grupal de [matemática] G [/ matemática] en [matemática ] V [/ math] dado por la multiplicación por algunas matrices regulares.

Ejemplo 1 : [math] G = \ langle g \ rangle [/ math] es un grupo cíclico de orden [math] n [/ math] y [math] k = \ mathbf {C} [/ math]. Arregle algunas [matemáticas] k, j \ in \ mathbf {Z}. [/ Matemáticas]

Considere una representación de [math] G [/ math] en [math] \ mathbf {C} ^ 2 [/ math] dada en el generador [math] g [/ math] por [math] g \ mapsto \ begin {pmatrix } \ zeta ^ {k} & 0 \\ 0 & \ zeta ^ {j} \ end {pmatrix}, [/ math] donde [math] \ zeta [/ math] es un primitivo [math] n [/ math] La raíz de la unidad.

Como se mencionó anteriormente, puede pensar en esta representación como una acción de [math] G [/ math] en [math] \ mathbf {C} ^ 2 [/ math] dada por la multiplicación por algunas matrices especiales (matrices diagonales en este caso) .

Esta acción de grupo viene dada por [matemáticas] g ^ {m} \ circ (z_1, z_2) = (\ zeta ^ {km} z_1, \ zeta ^ {jm} z_2). [/ math] De hecho, ve que esta acción grupal deja espacios vectoriales invariables unidimensionales abarcados por [math] e_1 [/ math] y [math] e_2 [/ math]. Esto permite descomponer esta representación de 2-dim en una suma directa de dos unidimensionales.

Ejemplo 2: Sea [math] G = \ mathbf {Z}. [/ Math]
Considere un homomorfismo grupal (un monomorfismo en este caso) [math] \ mathbf {Z} \ ni a \ mapsto \ begin {pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}. [/matemáticas]
También en este caso puede pensarlo como una acción de [math] \ mathbf {Z} [/ math] en [math] \ mathbf {C} ^ 2 [/ math] dada por la multiplicación por la matriz correspondiente. Tenga en cuenta que no puede descomponer [math] \ mathbf {C} ^ 2 [/ math] en una suma directa de dos espacios vectoriales invariantes como en el ejemplo anterior. Sin embargo, esta acción deja estable el espacio vectorial [math] \ mathbf {C} e_1. [/ Math] Por lo tanto, esta representación todavía es reducible en contraste con una representación irreducible que no tiene subrepresentaciones adecuadas (no di ninguna formal definiciones aquí, pero creo que puedes adivinarlas por tu cuenta.)

Ejemplo 3: Sea [math] G [/ math] un grupo finito de orden [math] n [/ math]. Deje [math] e_ {g_1}, e_ {g_2}, \ ldots, e_ {g_ {n}} [/ math]
[math] n [/ math] vectores linealmente independientes en [math] \ mathbf {C} ^ {n}. [/ math] Entonces podemos definir una acción en [math] V [/ math] dada sobre esta base de [ math] \ mathbf {C} ^ {n} [/ math] por permutación de elementos básicos, es decir, [math] (g, (e_ {g_1}, e_ {g_2}, \ ldots e_ {g_ {n}}) \ mapsto [/ math] [math] (e_ {g \ cdot g_1}, e_ {g \ cdot g_2}, \ ldots e_ {g \ cdot g_ {n}}). [/ math]
Claramente, esta acción está dada por algunas matrices de permutación.

Alternativamente, uno puede definir una acción dada por [math] (g, (e_ {g_1}, e_ {g_2}, \ ldots e_ {g_ {n}}) \ mapsto [/ math] [math] (e_ {g_1 \ cdot g ^ {- 1}}, e_ {g_2 \ cdot g ^ {- 1}}, \ ldots e_ {g_ {n} \ cdot g ^ {- 1}}). [/ math]
Estas dos representaciones son ejemplos de las llamadas representaciones regulares izquierda y derecha (estos ejemplos pueden ser ampliamente generalizados).

La teoría de la representación de grupos finitos sobre [math] \ mathbf {C} [/ math] es probablemente la más simple y, por lo tanto, muy accesible para principiantes en matemáticas y una teoría muy hermosa que abarca dos disciplinas matemáticas diferentes (álgebra abstracta y lineal) y conduce a muchos resultados profundos sobre la estructura de grupos finitos no abelianos. Se puede mostrar, por ejemplo, usando medios bastante elementales que varias representaciones irreducibles de un grupo finito [matemática] G [/ matemática] coinciden con una serie de clases de conjugación en [matemática] G [/ matemática] y otras numerosas Resultados obvios.

Pero, de hecho, toda la matemática está impregnada de representaciones. También juegan un papel importante en el análisis, por ejemplo, análisis armónico o análisis matemático [matemático] p [/ matemático] (los espacios de representación son algunos espacios especiales de funciones de vectores infinitos especiales) como en álgebra o teoría de números.

Así es como uno de mis profesores me explicó la idea de una representación. Supongamos que quieres entender mejor a Brian. Una buena manera de hacer esto es ver cómo actúa Brian en diferentes situaciones. Entonces, llevas a Brian al cine. Vas a jugar bolos con Brian. Tomas una clase con Brian. Tomando toda esta información sobre cómo actúa Brian en diferentes espacios, se obtiene una idea bastante clara de lo que trata Brian.

Puede aplicar esa misma metodología con grupos: los estudia al ver cómo actúan en diferentes espacios. Uno de los espacios más fáciles de manejar es un espacio vectorial sobre algún campo. Llamemos a este espacio vectorial [matemáticas] V [/ matemáticas].

¿Qué queremos decir con acción de nuestro grupo [matemáticas] G [/ matemáticas] en [matemáticas] V [/ matemáticas]? Geométricamente, pensamos que [math] G [/ math] se mueve alrededor de elementos de [math] V [/ math]. Algebraicamente, pensamos en multiplicar elementos de [matemáticas] V [/ matemáticas] por elementos de [matemáticas] G [/ matemáticas]. En resumen, pensamos que los elementos de [math] G [/ math] se comportan como operadores lineales en [math] V [/ math].

Para ser precisos: una acción de [math] G [/ math] en [math] V [/ math] es una operación [math] (g, v) \ mapsto gv [/ math] tal que:

1. [math] v \ mapsto gv [/ math] es un mapa lineal [math] V \ rightarrow V [/ math] para cualquier [math] g \ in G [/ math],

2. [math] id.v = v [/ math] para cualquier [math] v \ en V [/ math] (donde [math] id [/ math] está en la identidad en [math] G [/ math] ) y

3. [matemática] (gh) .v = g. (Hv) [/ matemática] para cualquier [matemática] g, h \ en G [/ matemática], [matemática] v \ en V [/ matemática].

La representación de un grupo es entonces solo un espacio vectorial [matemática] V [/ matemática] junto con una acción de [matemática] G [/ matemática] en [matemática] V [/ matemática].

(Hipotéticamente, puede tener una acción, y por lo tanto una representación, en algo que no sea solo un espacio vectorial, pero este es el caso más simple).

Aquí hay una forma muy directa de pensarlo.

Suponga que tiene un grupo dado por algunos generadores y relaciones, por ej.

[matemáticas] G: = \ langle r, s \; El | \; r ^ 8 = s ^ 2 = 1, s ^ ​​{- 1} rs = r ^ 3 \ rangle [/ math]

Entonces, una representación n- dimensional de G es simplemente una elección de n- por- n matrices R y S de tal manera que

[matemáticas] R ^ 8 = S ^ 2 = 1, S ^ {- 1} RS = R ^ 3 [/ matemáticas]

Dado que las matrices n -by- n son solo transformaciones lineales de un espacio vectorial n- dimensional, también podemos pensar en esto como una acción de G en un espacio vectorial.

Para poner en términos simples, una representación grupal busca tener una forma conveniente para los elementos de un grupo al mapearlos a otro grupo. Por ejemplo, un grupo podría asignarse al (sub) grupo de operadores que actúan en un espacio vectorial. Las representaciones grupales nos ayudan a representar elementos abstractos del grupo de una manera ordenada e identificable. (ya que estamos más cómodos trabajando con operadores lineales y matrices). La representación grupal tiene muchas aplicaciones, especialmente en Física.

Como ejemplo, considere lo siguiente:
Si una matriz (de alguna dimensión) satisface [matemáticas] A ^ {n} = I [/ matemáticas] para algún número entero n, podríamos representar el subgrupo cíclico de orden n como el grupo generado por la matriz A.

En general, un homomorfismo del grupo en el grupo de automorfismo de una estructura de un objeto de algún tipo de interés (más notablemente de un espacio vectorial, pero también de un espacio topológico, o de otro grupo).

Usaré un ejemplo concreto, que creo que debería ser correcto.

Deje entero con suma para ser el grupo (Z, +). Podemos representar el grupo como sistema decimal, sistema septimal, sistema binario, etc. Así que un sistema como decimal o binario es una representación del grupo (Z, +).

Por supuesto, la representación grupal formal es una abstracción de este concepto, al igual que el álgebra abstracta al clásico.