¿Es el siguiente un axioma matemático aceptable: a + b = b + a hasta el año 2200, entonces a + b> b + a?

No, no es un axioma matemático ya que el tiempo está fuera de las matemáticas, o debería decir, las matemáticas están fuera del tiempo.

Sin embargo, podría modelar el tiempo por los números reales, luego parametrizar la suma por [math] t \ in \ mathbf R. [/ Math] Entonces podría requerir para todos [math] t <2200 [/ math] que [math] a + _tb = b + _ta, [/ math] pero para [math] t \ geq2200 [/ math] que [math] a + _tb> b + _ta. [/ math]

El lenguaje de las matemáticas permite todo tipo de cosas, incluso cosas que no tienen aplicación práctica.

(Por cierto, si afirma [matemáticas] a + b> b + a, [/ matemáticas] tendrá que lidiar con otros problemas. Si mantiene [matemáticas] 0 [/ matemáticas] con las propiedades habituales, entonces [matemáticas] a> a [/ matemáticas] y ahí va la ley de la tricotomía.)

No en la lógica clásica. Pero podría desarrollar una lógica modal adecuada que le permita formular este axioma. La lógica temporal en particular permite que las declaraciones sean verdaderas en un momento particular. Aproximadamente, podríamos crear alguna lógica modal de primer orden con un operador lógico [math] \ mathcal {B} _ {2200} [/ math] que significa “antes del año 2200” y otro operador [math] \ mathcal {A} _ {2200} [/ math] que significa “año 2200 o posterior”, y agrega a los axiomas habituales de la lógica de primer orden algunos axiomas que expresan nuestras intuiciones sobre el tiempo. Entonces podríamos tener una teoría cuyo axioma es [matemática] \ matemática {B} _ {2200} (\ forall x \ forall y (x + y = y + x)) [/ math], o “antes del año 2200, [math] \ forall x \ forall y (x + y = y + x) [/ math], “y otro de cuyos axiomas es [math] \ mathcal {A} _ {2200} (\ forall x \ forall y (x + y> y + x)) [/ math], o “año 2200 o posterior, [math] \ forall x \ forall y (x + y> y + x) [/ math]”. Así que formular este axioma implica no solo usar una teoría diferente de la aritmética de primer orden, sino una lógica subyacente diferente que permite expresar el tiempo.

Veamos.

[matemáticas] a + b> b + a [/ matemáticas]

Esto parece ser cierto para algunos sistemas de números. Pero definamos dos símbolos adicionales:

[matemáticas] a ‘= b [/ matemáticas] y [matemáticas] b’ = a [/ matemáticas]

Entonces podemos escribir [matemáticas] a ‘+ b’> b ‘+ a’ [/ matemáticas], que es lo mismo que [matemáticas] b + a> a + b [/ matemáticas].

¡Pero espera! Acabamos de decir que [matemáticas] a + b> b + a [/ matemáticas]. En consecuencia tenemos una contradicción.

Los axiomas utilizados aquí son:
[matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] son ​​medibles
[matemáticas] a + b [/ matemáticas] está definido
[matemáticas] c = c [/ matemáticas]
[matemáticas] a = b \ Flecha derecha b = a [/ matemáticas]

Es decir, solo hemos dicho que la suma está definida, que los números tienen un tamaño, que la igualdad es verdadera y que la igualdad es reflexiva. Si desea utilizar su axioma, debe descartar al menos uno de estos.

“Aceptable” es un poco fuerte. Es un axioma, sí, pero la siguiente pregunta sería si es o no un axioma interesante.

Aquí hay uno más simple que podría ser un poco más intrigante con el que jugué en la escuela secundaria: a> a. Puede pensar en esto como un sistema mecánico donde cada vez que se hace referencia a una variable, tiene la garantía de que su valor ha aumentado desde la última vez que se hizo referencia. Eso plantea algunas preguntas ligeramente interesantes sobre cómo se pueden construir pruebas, así como qué se puede y qué no se puede probar en ese sistema. Sin embargo, en última instancia, es más un ejercicio con los dedos en lo que significan los axiomas que un intento serio de un universo matemático alternativo, y ese es mi sentido de su pregunta también.

Sí, podrías declarar tal axioma.

Sin embargo, a menos que tenga una serie completa de axiomas dependientes del tiempo que redefinan los símbolos “+” y “>”, terminará con un sistema de axiomas inconsistente. Eso no sería muy interesante.

La conmutatividad de la suma es una propiedad útil, y si no desea tomarla como un axioma, puede derivarla de los axiomas de Peano. Si desea utilizar su enunciado, debe argumentar que es útil, y debe exhibir una estructura como los números naturales donde se encuentra.

Esto parece estar relacionado con ideas exploradas por Nelson Goodman:
Nuevo acertijo de inducción