¿Por qué la palabra ‘conjunto’ en la teoría de conjuntos no tiene una definición que satisfaga a todos? ¿Qué obstáculos están inminentes tal definición?

No creo que necesitemos establecer una definición coherente. Hay un conjunto completo de formas en que podemos usar la palabra, al igual que con casi cualquier otra palabra en inglés que pueda recordar.

Anoche en la cena, mientras estaba poniendo la mesa, mi padre y yo tuvimos una pequeña discusión sobre sus últimos juegos de palabras. Está preparado para la vida con su trabajo, pero le encanta jugar Scrabble, incluso con grandes contratiempos monetarios. Cuando se lo propone, gana torneos contra casi cualquier persona.

Un jugador profesional de Scrabble no necesita conocer el conjunto completo de definiciones para cada palabra. Para aprender tantas definiciones, tendrían que reservar años de su vida. (¿Alguna vez has visto un diccionario oficial de Scrabble? Establece esa cosa como un pisapapeles en un día ventoso, estás listo). En cambio, ponen cada palabra en su mente como una cadena de letras que se pueden organizar desde su conjunto de azulejos

Mi padre ciertamente establecería “establecer” como una palabra para conocer las definiciones, porque es común. Pero establezca casi cualquier buena palabra de Scrabble en su pregunta y se vuelve ridículo establecer solo una definición en su lugar. Si nos propusimos “establecer”, ¿qué no deberíamos decir para todas las demás palabras? Eso es solo poner el listón demasiado alto.

Bien, en serio, ¿qué tipo de respuesta estás buscando? Da algunos detalles, por favor. Debe establecer algunos parámetros para que podamos responder dentro.

En la mayoría de los casos, una teoría de conjuntos especificará el significado de “conjunto” tanto como sea necesario para sus propósitos y nada más (¡y ese significado solo es válido dentro de esa teoría, por supuesto!). Esto generalmente significa que “conjunto” no está muy definido, excepto que “un conjunto” tiene algunas propiedades: pueden contener cosas (generalmente en un universo de conjuntos que significa que las “otras cosas” son otros conjuntos o nada); y pueden ser iguales entre sí (y generalmente se da una definición de lo que esto significa).

Tenga en cuenta que hay muchas teorías establecidas. Algunas teorías de conjuntos contienen urelementos fundamentales que no son conjuntos y no pueden “reducirse” a cosas más simples de ninguna manera, pero algunas teorías de conjuntos no contienen tales cosas. ZF (y por extensión ZFC) no contiene tal cosa (y el conjunto vacío no es un urelemento).

Todo lo que se necesita para que alguien esté insatisfecho con una definición es una idea diferente de lo que un conjunto “debería ser” (en lugar de aceptar que “en esta teoría particular, esto es lo que es un conjunto, o esto es lo que hace , y en diferentes teorías, algo diferente se aplica “), y ser obstinado al respecto. He conocido a una de esas personas; Afirmó haber enseñado teoría de conjuntos, pero parecía carecer de cierto nivel de comprensión. Su opinión fue que un conjunto que no contiene nada (es decir, un conjunto vacío) no debería existir o no tiene sentido (¡en ZF el conjunto vacío está perfectamente bien definido!), Y desconfiaba de contener conjuntos dentro de otros conjuntos. Para ser justo con él, no era matemático, sino que afirmaba ser filósofo. Sin embargo, el intercambio me sorprendió un poco y me entristeció un poco.

Parece que sus objeciones (y probablemente las de otras personas) se reducen a la osificación de una opinión en un apego emocional a un concepto. Estos pueden ser difíciles de dejar. Estoy seguro de que tengo algunas de esas creencias, pero si no me he enfrentado a ellas, no sé si alguna vez lo sabré, y si lo hiciera, ¿me gustaría? Espero poder mirar más allá de mí mismo y comprender …

Todo se reduce a esto: puede complacer a algunas de las personas la mayor parte del tiempo, algunas de las personas a veces, pero no puede complacer a todas las personas todo el tiempo.

Se han usado diferentes palabras en el pasado, incluyendo “sistema” y “conjunto”. Lo bueno de la palabra “conjunto” es que es solo una sílaba y tiene significados similares en inglés ordinario y en matemáticas.

Nunca escuché a nadie decir que no están satisfechos con la palabra “conjunto” utilizada para conjuntos. Ni siquiera es ambiguo ya que solo se usa para conjuntos.

Los conjuntos se definen en los axiomas de la teoría de conjuntos. Los axiomas básicos de la teoría de conjuntos son los axiomas ZF. Como la teoría de conjuntos puede incorporar la teoría de números, el teorema de incompletitud de Gödel dice que cualquier lista efectiva y consistente de axiomas será incompleta. Eso significa que sea cual sea el sistema de axiomas que tenga, siempre puede agregar una declaración independiente como otro axioma.

Una declaración que se agrega con frecuencia a ZF es el Axioma de elección, y que da como resultado el sistema axiom ZFC. Eso se suma a la no constructividad, una cualidad indeseable, por lo que se evita cuando es posible. Incluso sin el Axioma de Elección, la matemática clásica tiene aspectos no constructivos, ya que utiliza la lógica clásica que incluye algunas reglas que no son constructivas. Uno debe usar la lógica intuicionista para evitar eso.

Todas las paradojas en la teoría de conjuntos provienen de la circularidad en las definiciones, pero Russell Paradox que oculta una antinomia muy sutil. Hay muchas formas de resolver, y originan diferentes definiciones de conjuntos. En las lógicas de enésimo orden, los conjuntos se realizan en recursión finita desde el conjunto vacío o un conjunto de urelementos (en lógica de enésimo orden es mejor usar urelementos porque si no puede ser conjuntos infinitos, y una teoría sin muchos conjuntos infinitos no es útil en matemáticas ) El más utilizado es ZFC, pero prefiero NBG. Sus axiomas son más intuitivos. Utilizaron 2 objetos primitivos y una relación: clase, conjunto y [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas]

Un conjunto es una clase que puede estar en otra clase, una clase propia es una clase muy grande o muy comprensiva que no puede ser parte de otra clase (como la clase Rusell). Cualquier fórmula define los conjuntos que pueden estar en una clase (propiamente dicha o no). En segundo orden, la teoría es categórica. Es necesario el axioma infinito, es decir, existe un orden lineal que no tiene elemento final. No hay más axiomas. Todos los “conjuntos” que originan paradojas en la teoría de conjuntos naive de Frege, y algunos de ellos también en la teoría de Cantor, son de clase propia y las paradojas desaparecen porque no pueden estar en otra clase. La idea metamatemática es que hay infinitos, infinitos muy largos, mucho más largos que el infinito de números naturales o números reales, pero hay un límite para los infinitos. Creo que es una concepción muy clara.

Para discusiones informales, casi cualquiera de las definiciones del diccionario servirá, por ejemplo, una colección de objetos. En matemáticas, sin embargo, no existe una definición formal de qué es y qué no es un conjunto. No hay necesidad de uno. Por el contrario, tenemos una lista de propiedades esenciales de los conjuntos de los cuales se pueden derivar todos los demás, por ejemplo, para cualquier conjunto A y B (aunque esté informalmente definido), existe un conjunto que es la unión de los conjuntos A y B. Estas propiedades esenciales comprenden Los axiomas de la teoría de conjuntos, los más utilizados son los axiomas de Zermelo-Fraenkel.