Si hay un plano 2D complejo, ¿puede haber un plano 3D complejo?

Esta es una gran pregunta. De hecho, William Rowan Hamilton dedicó décadas de su carrera a responder esta pregunta, y finalmente determinó que no podía encontrar ningún tipo de plano tridimensional complejo que tuviera algún sentido algebraico y geométrico, podría llegar a un hipercomplejo Plano 4-D que funcionó maravillosamente (aunque sea extrañamente) en términos de sus propiedades algebraicas y geométricas.

Hamilton creó un sistema de números hipercomplejos que llamó cuaterniones . Los cuaterniones son como números complejos, excepto que en lugar de tener una unidad compleja [matemática] i [/ matemática], cuaterniones de la forma [matemática] q = a + bi + cj + dk [/ matemática] (donde [matemática] a, b , c, d [/ math] son ​​números reales) tienen tres unidades complejas [math] i, j, [/ math] y [math] k [/ math], sujetas a la siguiente regla:

[matemáticas] i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = ijk = -1 [/ matemáticas]

Esta regla parece bastante simple, hasta que la miras con más detalle. Por ejemplo, tome la ecuación [matemática] ijk = -1 [/ matemática] y multiplique a la derecha por [matemática] k: [/ matemática]

[matemáticas] ijkk = -k [/ matemáticas]

[matemáticas] ijk ^ 2 = -k [/ matemáticas]

[matemáticas] ij (-1) = -k [/ matemáticas]

[matemáticas] -ij = -k [/ matemáticas]

[matemáticas] ij = k [/ matemáticas]

Pero tenga en cuenta que:

[matemáticas] k ^ 2 = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (ij) ^ 2 = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] ijij = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] iijijj = i (-1) j = -ij [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ 2jij ^ 2 = (-1) ji (-1) = ji = -ij [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] ji = -ij. [/ math] Del mismo modo, [math] kj = -jk, ik = -ki. [/ math]

Entonces, este sistema de números no es conmutativo. Dados dos cuaterniones, [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática], en general, [matemática] pq \ neq qp. [/ Matemática]

Los cuaterniones tienen hermosas propiedades que vale la pena explorar. Hamilton separó la parte real del cuaternión y la parte hipercompleja del cuaternión de modo que si [matemática] q = a + bi + cj + dk [/ matemática], llamó a [matemática] a [/ matemática] la parte escalar de [ matemáticas] q [/ matemáticas] y [matemáticas] bi + cj + dk [/ matemáticas] la parte del vector de [matemáticas] q. [/ matemáticas] Un cuaternión con [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas] él llamó un puro cuaternio. El producto cuaternión de dos cuaterniones puros es (en el lenguaje moderno) el producto cruzado de los dos vectores menos el producto punto de los dos vectores.

Al igual que los números complejos, las rotaciones se dan por multiplicación.

Hamilton y su alumno, Peter Guthrie Tait, se convirtieron en fuertes defensores del quaternion y desarrollaron un cálculo de quaternion (un precursor del cálculo vectorial del siglo XX) que se utilizó para formular las Ecuaciones de electromagnetismo de Maxwell, que revolucionaron la física.

El cálculo vectorial de Josiah Willard Gibbs y Oliver Heaviside reemplazó en su mayor parte el cálculo de cuaternión (y las ecuaciones de Maxwell se reformulan en el contexto moderno usando cálculo vectorial, cálculo tensorial o formas diferenciales). Pero los cuaterniones aún tienen un gran impacto en gran parte de las matemáticas y la física.

Calcular rotaciones en el espacio tridimensional es más fácil con cuaterniones que con matrices o vectores modernos. La naturaleza no conmutativa de los cuaterniones fue el comienzo de la teoría del anillo moderna y desarrolló toda la rama de la teoría del anillo no conmutativo. La expansión de números reales a números complejos a cuaterniones se extendió a octoniones y sedeniones, utilizando lo que se llama la construcción Cayley-Dickson. Los octoniones no solo no son conmutativos, sino que no son asociativos (es decir, [matemáticas] (ab) c \ neq a (bc) [/ matemáticas] en general). Las secuencias tienen cero divisores (es decir, existen secuencias [matemáticas] a, b [/ matemáticas] tales que [matemáticas] a \ neq 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] b \ neq 0 [/ matemáticas], pero [matemáticas] ab = 0) [/ matemáticas].

Aquí solo he arañado la superficie, pero hay mucho por explorar.

Como todos los demás han dicho “no”, voy a decir “sí”, o más bien depende de lo que quiera decir con un plano tridimensional complejo. Ciertamente hay un espacio vectorial tridimensional sobre los Reales, pero eso solo tiene suma y multiplicación por números reales. Estoy seguro de que al menos estás buscando una estructura algebraica que incluya multiplicación cerrada, pero ¿qué reglas algebraicas quieres aplicar?

Las reglas que funcionan para números complejos incluyen que la multiplicación sea conmutativa, asociativa, distributiva y unital. También es posible que desee inversos multiplicativos para todos los elementos excepto cero, y / o operaciones de norma y conjugación. Si necesita todas estas cosas, entonces no hay posibilidades en 3 o más dimensiones.

Sin embargo, puede estar dispuesto a sacrificar algunas de estas características para que la respuesta sea más interesante. ¿Cuáles descartas? Cualquiera de las reglas anteriores podría desaparecer, o incluso puede preferir perder algunas de las propiedades de la suma.

Resulta que la respuesta que es matemáticamente más útil es descartar la comunividad para la multiplicación y quedarse con todo lo demás. Luego encuentras los cuaterniones que son 4 dimensionales pero todavía nada en 3 dimensiones. Si luego descartas la asociatividad, también obtienes los octoniones en ocho dimensiones. Estos se conocen como álgebras de división normalizadas y son muy útiles, por ejemplo, en la construcción de álgebras de Lie.

Pero, ¿por qué es tan importante la división por todo excepto cero? Las álgebras matriciales, por ejemplo, también son estructuras algebraicas interesantes que no permiten una división completa. Una estructura bastante general que puede querer mantener se conoce como Álgebra sobre un campo: Wikipedia, en este caso queremos un álgebra sobre los números reales que sea tridimensional. Este sería un espacio vectorial 3D con una multiplicación que mantiene la ley distributiva (linealidad) pero no requiere ninguna de las otras reglas. Un ejemplo que funciona es la multiplicación de productos cruzados de vectores, pero puede sentir que esto está demasiado alejado de los números complejos. ¿Qué reglas se deben volver a poner?

Veamos qué sucede cuando vuelves a poner una unidad multiplicativa (es decir, una número uno), la comunividad y la asociatividad. La característica principal que estamos arrojando son los inversos multiplicativos, es decir, la división. En este caso existen ejemplos tridimensionales. La página de Wikipedia vinculada a lo anterior menciona que hay cuatro ejemplos sobre los números complejos y estos también funcionan sobre los reales. De hecho, habrá ejemplos más distintos sobre los reales.

Por lo tanto, la respuesta puede ser “sí” dependiendo de las propiedades numéricas que desee mantener y cuáles esté dispuesto a tirar, pero si considera que los ejemplos son como números complejos es cuestión de gustos.

No. El TL; DR es que entre todas las dimensiones finitas [matemáticas] n> 0 [/ matemáticas], las únicas que admiten algo como los números complejos son [matemáticas] n = 1, 2, 4, 8 [/ matemáticas]. Para algunos de los detalles, sigue leyendo.

Hagamos esta pregunta más precisa. Por supuesto, podemos considerar un espacio vectorial real de cualquier cantidad de dimensiones. Lo especial de los números complejos (entre otros espacios vectoriales bidimensionales) es que es un álgebra de división sobre los números reales . Un álgebra de división sobre [math] \ mathbb {R} [/ math] es:

• un espacio vectorial real [matemática] A [/ matemática]
• con una multiplicación [matemática] A \ veces A \ a A [/ matemática] que es bilineal sobre los números reales

tal que

• la multiplicación es asociativa ([matemáticas] (ab) c = a (bc) [/ matemáticas] para todas [matemáticas] a, b, c \ en A [/ matemáticas]),
• cada vector distinto de cero tiene una inversa multiplicativa izquierda y derecha,
• y la suma y la multiplicación son distributivas entre sí.

Hay una letra pequeña aquí. Primero, las inversas izquierda y derecha de un elemento dado no necesitan ser las mismas. Segundo, la multiplicación no tiene que ser conmutativa; es decir, [math] ab \ neq ba [/ math] en general. Si la multiplicación es conmutativa, llamamos al campo [matemática] A [/ matemática] (y en el caso de un campo, las inversas izquierda y derecha coinciden). Los números complejos [math] \ mathbb {C} [/ math] son ​​un campo.

Ahora estamos listos para declarar el famoso resultado.

Teorema (Frobenius): hasta el isomorfismo, solo hay tres álgebras de división de dimensiones finitas sobre [math] \ mathbb {R} [/ math]. Son los números reales [math] \ mathbb {R} [/ math], los números complejos [math] \ mathbb {C} [/ math] y los cuaterniones [math] \ mathbb {H} [/ math].

¡Eso es! Y de esos cuatro, solo [math] \ mathbb {R} [/ math] y [math] \ mathbb {C} [/ math] son ​​campos. Si atenuamos la restricción de que un álgebra de división sea asociativo, entonces hay exactamente uno más: los octoniones, [math] \ mathbb {O} [/ math].

La prueba del teorema de Frobenius no es difícil y utiliza técnicas clásicas [2]. La clasificación de las álgebras de división no asociativas de dimensiones finitas, incluido el caso de los octoniones, es mucho más difícil de probar. ¡Utiliza la teoría K topológica y la periodicidad de Bott! Esta es una de esas sorprendentes aplicaciones de maquinaria topológica grande y moderna para un problema algebraico clásico. Aquí está la declaración.

Teorema (Bott-Milnor): los siguientes son equivalentes:

1. Existe un álgebra de división real [matemática] n [/ matemática] -dimensional (no necesariamente asociativa).
2. Hay un paquete de vectores reales en la esfera [matemática] n [/ matemática] con la clase Stiefel-Whitney superior que no desaparece.
3. La esfera [matemática] (n-1) [/ matemática] es paralelizable (es decir, tiene campos vectoriales [matemática] V_1, V_2, \ ldots, V_ {n-1} [/ matemática] cuyas evaluaciones en cualquier punto [matemática] p \ en S ^ {n-1} [/ matemática] forma una base del espacio tangente [matemática] T_p S ^ {n-1} [/ matemática]).
4. [matemáticas] n = 1, 2, 4, [/ matemáticas] o [matemáticas] 8 [/ matemáticas].

Referencias

1. John Baez, Semana 105 de los hallazgos de esta semana en física matemática
2. La entrada de Wikipedia sobre el teorema de Frobenius describe una prueba simple
3. El comentario de Ranicki sobre un artículo de Bott-Milnor y un artículo de Adams discute la prueba en el caso no asociativo

Uno pensaría que podría haberlo, pero por alguna razón de la que no estoy seguro, no funciona. Lo más cercano es cuaterniones, [matemática] z = a + bi + cj + dk, [/ matemática] donde tienes cuatro parámetros reales y unidades [matemática] 1 ^ 2 = 1, [/ matemática] [matemática] i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = ijk = -1. [/ Math] Agregar ese cuarto parámetro fue el avance que permitió que un sistema de trabajo representara puntos en tres espacios, y los cuaterniones todavía se usan en gráficos de computadora.

“Agregar números complejos” no agrega el eje ay, pero agrega un eje que representa la parte imaginaria de x. Para una función f (x) = ax + bi, los ejes son x e i con valores de a y b. El plano que se muestra en dicho diagrama Argand simplemente nos permite visualizar ese número complejo.

No hay ninguna razón por la cual una función no pueda incorporar valores complejos para x, y y z, con puntos en (ax + bi, cy + di, fz + gi).

Sin embargo, no podría mostrar todo eso en un diagrama de Argand.