Mi universidad tiene tanto un curso de pregrado como un posgrado en análisis funcional. Aquí están las descripciones de los cursos para que pueda comparar:
De licenciatura:
Este curso es para estudiantes que se especializan en matemática pura o que necesitan un análisis funcional en sus cursos de matemática aplicada. El objetivo del módulo es estudiar asignaciones lineales definidas en espacios de Banach y espacios de Hilbert, especialmente funcionales lineales (asignaciones de valores reales) en L (p), C [0,1] y algunos espacios de secuencia. En particular, se cubrirán los cuatro grandes teoremas en el análisis funcional, a saber, el teorema de Hahn-Banach, el teorema de la limitación uniforme, el teorema del mapeo abierto y el teorema de Banach-Steinhaus. Temas principales: espacios lineales normados y espacios de Banach. Operadores lineales acotados y funcionales lineales continuos. Espacios duales. Reflexividad Teorema de Hanh-Banach. Teorema de mapeo abierto. Principio de límite uniforme. Teorema de Banach Steinhaus. Los espacios clásicos de Banach: c0, lp, Lp, C (K). Operadores compactos. Espacios interiores de productos y espacios de Hilbert. Bases ortonormales. Complementos ortogonales y sumas directas. Teorema de representación de Riesz. Operadores adjuntos.
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Graduado:
Este módulo cubre análisis funcional básico y aplicaciones seleccionadas. Está destinado a estudiantes de posgrado en matemáticas.
Temas principales:
(1) Normas y seminorms, espacios de Banach y Fréchet, Hahn-Banach y teoremas de separación, Principio de límite uniforme, mapeo abierto y teoremas de gráficos cerrados.
(2) Espacios duales, espacios uniformemente convexos y reflexivos, el teorema del radón-Nikodým y el dual de Lp, el teorema de Banach Alaoglu, el teorema de Mazur, operadores adjuntos.
(3) Operadores compactos, compacidad de adjuntos, teoría espectral y alternativa de Fredholm para operadores compactos, aplicación a ecuaciones diferenciales.
(4) Espacio de Hilbert y operadores en el espacio de Hilbert, Teorema de Lax-Milgram, serie de Fourier, teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos, aplicación a ecuaciones diferenciales.
El curso de pregrado solo supone como requisito previo un curso de nivel 300 en espacios métricos, mientras que el curso de postgrado tiene como requisito previo un curso de nivel de posgrado sobre integración de Lebesgue. Tomé el curso de posgrado solo este último semestre, y el profesor esperaba que ya estuviéramos expuestos al análisis funcional. Había tomado un curso previo de análisis funcional de nivel universitario en una universidad diferente que se centró principalmente en los espacios de Hilbert. El curso de posgrado que tomé el semestre pasado se centró mucho más en las aplicaciones. El área de investigación de mi profesor estaba en los espacios de Sobolev, por lo que a veces teníamos un énfasis particular en los espacios de Sobolev y en las aplicaciones de análisis funcional para probar la existencia de soluciones débiles a ecuaciones diferenciales parciales.
Si bien gran parte del material se superpuso entre los dos cursos de análisis funcional que tomé, el curso de posgrado fue en general más generalizado, se centró más en las aplicaciones y requirió un conocimiento previo de mayor nivel. Ninguno de los cursos pudo llegar más lejos que el estudio de operadores compactos.
