¡Pregunta increíble de Wohoo! Permítanme ser un poco anacrónico porque, aunque es un dispositivo que aparece por primera vez en geometría algebraica, es mucho más fácil de entender topológicamente. Uno de los teoremas más importantes en la topología algebraica es la equivalencia para un n-manifolds orientado compacto [matemática] M [/ matemática]:
[matemáticas] H_ {nk} (M) \ simeq H ^ k (M) [/ matemáticas]
¿Cómo se prueba esto? Bueno, hay muchas maneras, pero una forma de hacerlo es dar un argumento de tipo Mayer-Vietoris induciendo al número de cubiertas de la variedad. Bueno, es por eso que el teorema es especial (está bien, en realidad no, pero supongamos que lo es) a múltiples. Hay portadas que podemos entender. A nivel local, sabemos todo sobre la variedad, se parece a [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math], por lo que se trata de comprender la imagen global. Entonces, una forma de pensar sobre la dualidad de Poincare es que es un principio local a global. Ahora sabemos que la cohomología es representable, por lo que podríamos querer escribir la siguiente fórmula como una expresión de este principio local a global para mapas compatibles de forma compacta.
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[matemática] colim Maps_c (U_i, K (A, n)) \ sim Maps_c (X, K (A, n)) [/ math]
donde el colimit se toma sobre una cubierta abierta de X. Dependiendo de su gusto, ¡la fórmula anterior es una tautología completa! Por supuesto, el mapeo de la variedad equivale a mirar mapas de cada pieza abierta individual. Bueno, no del todo, ¡resulta que la fórmula anterior se basa en el hecho de que [matemáticas] K (A, n) [/ matemáticas] es un espacio H que realmente equivale a tener un esquema de inducción de tipo Mayer-Vietoris! En particular, ciertamente no es cierto que mapear en algún espacio [matemática] Y [/ matemática] equivale a mapear desde una pieza local de ecah (¡piense en mapear en dos puntos)!
De todos modos, podemos modificar la afirmación anterior para que sea cierta, que es la dualidad no beliana de Poincare de Lurie y Salvatore: el punto es reemplazar colimit con homotopy colimit y dejar que el espacio objetivo esté conectado n-1 y, aquí está la parte increíble, permitir ¡tomemos el colimit sobre la unión desunida de múltiples! ¡Eso es increíble porque ahora el juego no se trata de pegar datos o intersección de múltiples, sino de colimitar homotopía sobre el diagrama de conjuntos abiertos que determina la variedad!
Más precisamente estamos viendo:
[math] hocolim {U_1, …, U_n} Maps_c (U_1 \ coprod … U_n, X) [\ math].
¡Este es un buen principio local a global que es especialmente bueno para n-manifolds! Ahora queremos pensar en esta expresión de la derecha como una especie de teoría de la homología. De hecho, quiero decir que la entrada en el interior debería ser el coeficiente de mi teoría de la homología y tomar el colimit de homotopía son solo las secciones globales. Esa es la frase clave: lo que sea que esté dentro es exactamente un álgebra de factorización. ¿Qué es “factorización” al respecto? Bueno, porque estamos buscando uniones disjuntas, ¡el espacio de mapeo es solo un producto de espacios de mapeo! Por lo tanto, el valor se determina de hecho en lo que sucede en una sola [matemática] Maps_c (U_i, X) [\ math]. Y esa es la propiedad clave de las álgebras de factorización: sus valores se determinan en función de lo que sucede muy localmente.
Tales fórmulas existen en la geometría algebraica (donde reemplazamos los discos abiertos por puntos o una vecindad formal de un punto) y fueron originalmente de Beilinson y Drinfeld en su libro “álgebras quirales”. Por supuesto, una aplicación espectacular de esto es la prueba de Gaitsgory y Lurie de una fórmula Atiyah-Bott que les permite contar puntos en los módulos de paquetes G sobre una curva.