Para mí, lo importante es la viabilidad del formalismo como filosofía matemática. Los argumentos aquí son vanos, porque la gente no ha entendido el teorema de Godel correctamente, porque la prueba está hecha para ser complicada.
El teorema de Godel se reduce a la afirmación de que los sistemas matemáticos están indexados por ordinales computables contables. Este es el contenido de la tesis de Turing. Eventualmente, a medida que avanza en los ordinales, resuelve el problema de detención y, utilizando los sistemas, puede probar cualquier teorema bien definido.
Esta debería ser una filosofía completa de las matemáticas, excepto por la pregunta no algorítmica “¿cómo se nombran ordinales cada vez más altos?” Los métodos aquí son oscuros y no pueden formalizarse en un programa determinista.
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Pero podría ser posible desarrollar formas de nombrar ordinales superiores de tal manera que uno pueda estar seguro de que se nombran ordinales superiores. Si es así, solo se necesita la adición de un oráculo de aleatoriedad para completar la filosofía matemática. No estoy seguro acerca de esta afirmación, y requiere algo de pensamiento matemático y filosófico.
El impacto en las matemáticas puede ser bastante grande, porque puede producir sistemas más fuertes y probar la consistencia de los sistemas existentes, de la misma manera que Gentzen probó la consistencia de la aritmética. Esto es matemática fascinante. También puede servir como antídoto para la depresión de Godel, la idea de que algunos teoremas son difíciles porque “simplemente no hay prueba”. Esta situación no puede ocurrir realmente, no si el problema está bien definido.
