Quizás uno de los ejemplos más simples, pero no triviales: la orientación que preserva la rotación del espacio tridimensional de los mechaincs ordinarios alrededor de un punto fijo (el origen de un sistema de coordenadas) no necesariamente conmuta. Forman un grupo, llamado el grupo de rotación del espacio tridimensional eclideano y generalmente se denota [math] SO_3 (\ mathbb {R}) [/ math]. Las rotaciones “infinitesimales” o “infinitamente pequeñas” (también pueden verse como ” aproximaciones lineales ” a rotaciones que son bastante curvas por su naturaleza) forman una estructura no conmutativa y ni siquiera asociativa denotada por [math] \ frak {so} _2 (\ mathbb {R}) [/ math] y llamó el álgebra de Lie del grupo de rotaciones. Este último se menciona con frecuencia en cursos de pregrado de matemáticas, mecánica y física sin llamarlo por su nombre propio: en la enseñanza de pregrado (y nivel escolar, en algunos países), se conoce como álgebra de producto cruzado (o vector) de vectores en la dimensión 3. Es ampliamente utilizado en mecánica y teoría del electromagnetismo.
Entonces, la respuesta más breve a la pregunta: ¿Cuáles son algunas aplicaciones del álgebra no conmutativa en física? es “producto cruzado de vectores – no es conmutativo”.
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