Dudas avanzadas de JEE: ¿Cómo puedo resolver la pregunta número 13?

min de [matemáticas] (x1 + x2 + x3 .. + x_ {k}) = 1 + 2 + 3 .. + k = k (k + 1) / 2 [/ matemáticas]

hay un valor infinito posible de [matemáticas] x (i) [/ matemáticas] donde [matemáticas] 1 <= i <= k [/ matemáticas]

si elegimos cualquier combinación [matemática] (x1, x2, x3,… x_ {k}) [/ matemática], la suma siempre será mayor que [matemática] k (k + 1) / 2, [/ matemática] pero eso el valor debe ser n.

Vamos a calcular cuánto “n” es mayor que k (k + 1) / 2. será:

[matemáticas] d = n – k (k + 1) / 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] min (x_ {i}) = i [/ matemáticas]

entonces el valor de [math] x_ {i} [/ math] variará como: [math] i <= x_ {i} <= i + d [/ math]

entonces, tenemos que distribuir [math] “d” [/ math] entre [math] x_ {i} [/ math]. Eso será [matemáticas] \ binom {d + k-1} {k-1}. [/ Matemáticas]

[matemática] d + k – 1 [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] n – k (k + 1) / 2 + k – 1 = n – k (k-1) / 2 – 1 [/matemáticas]

Respuesta: [matemáticas] \ binom {(n – k (k-1) / 2 – 1)} {(k-1)}. [/ Matemáticas]

Dado [matemática] n = \ sum_ {i = 1} {k} x_i [/ ​​matemática] y [matemática] n \ ge \ frac {k (k + 1)} {2} [/ matemática]
y [math] x_i \ ge i \ forall 1 \ le i \ le k [/ math] y todos son enteros

Entonces digamos [math] x_i = i + d_i [/ ​​math] luego [math] d_i \ ge 0 [/ math]
Entonces [math] n = \ sum_ {i = 1} {k} x_i [/ ​​math] se convertirá

[matemáticas] n = \ sum_ {i = 1} {k} (i + d_i) [/ matemáticas]
[matemáticas] n = \ sum_ {i = 1} {k} i + \ sum_ {i = 1} {k} d_i [/ ​​matemáticas]
[matemáticas] n = \ frac {k (k + 1)} {2} + \ sum_ {i = 1} {k} d_i [/ ​​matemáticas]
[matemáticas] n – \ frac {k (k + 1)} {2} = \ sum_ {i = 1} {k} d_i [/ ​​matemáticas]

Deje [math] N = n – \ frac {k (k + 1)} {2} [/ math], el problema se reduce a varias formas de elegir k números no negativos para que la suma sea N. Esto es
[matemáticas] {} ^ {N + k-1} C_ {k-1} [/ matemáticas]

Entonces la respuesta es
[matemáticas] {} ^ {n – \ frac {k (k + 1)} {2} + k – 1} C_ {k-1} [/ matemáticas]

Primero de todo, no soy IITian u otro -ian, soy un aspirante IIT-JEE 2015, ¡Muy bien preparado! 🙂 ¡Entonces puedes confiar en mí!
Solución:


Como en esta pregunta ya mencioné que,
[matemáticas] n \ ge \ frac {k (k + 1)} {2} [/ matemáticas]
y [matemáticas] x_1 \ ge 1 [/ matemáticas], [matemáticas] x_2 \ ge 2 [/ matemáticas] Y así sucesivamente.
Entonces, suponga que cada [matemática] x_i \ geq i + r_i, (i = 1,2,3… k) [/ matemática]
y r cualquier entero!
Entonces obtenemos
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {k} x_i = {\ sum_ {i = 0} ^ {k} r_i} + \ frac {k (k + 1)} {2} = n [/ matemáticas]
entonces, [matemáticas] {\ sum_ {i = 0} ^ {k} r_i} = n- \ frac {k (k + 1)} {2} [/ matemáticas]
entonces el problema es obvio!
Debe llenar el cuadro [math] k [/ math] con [math] n- \ frac {k (k + 1)} {2} [/ math] Balls ..
entonces la solución es [matemáticas] \ binom {n- \ frac {k (k + 1)} {2} + k-1} {k-1} [/ matemáticas]


¿Problema de comprensión?

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Suponiendo que conoce el número de posibles soluciones de x1, x2, x3 … xK = n donde x1, x2, x3…. are> = 0 es igual a:

(n + k-1) C (k-1)

Pero aquí nuestro problema es que se nos dan algunos límites …

Entonces digamos, x1 = 1 + p1, x2 = 2 + p2 y así sucesivamente donde p1, p2, p3 … son> = 0.

Ahora sustituye en la ecuación principal …

(1 + p1) + (2 + p2)…. + (k + pK) = n

Obtenemos (1 + 2 + 3 + 4… .. + k) + p1 + p2 + p3…. + pK = n

Obtenemos p1 + p2 + p3,… + pK = n- k (k + 1) / 2 = s. (Decir)

Ahora aplique la fórmula anterior,

No de formas = (s + k-1) C (k-1) …

Podemos aplicar directamente ya que no tenemos condiciones en p1 y p2 …, aparte de que son números enteros …

Y ahí tienes …

k (k + 1) / 2 es la suma de los primeros k números naturales. Como n es mayor que igual a esa cantidad, y por cada i mayor que 1 y menor que k, xi es mayor o igual que i la ecuación x1 + x2 + x3 y así sucesivamente hasta xk = n
va a ser 1. Esto sucede cuando consideras la cláusula de igualdad de ambas desigualdades dadas. Considere x1 = 1, x2 = 2 y así sucesivamente hasta xk = k.
Cuando sumas esto, es decir:
1 + 2 + 3 + 4 +… .. + k, obtienes k (k + 1) / 2, que también es el valor mínimo de n.

Como se menciona, puede verificarlo manteniendo los valores 1,2,3, -1, -2 en la pregunta y en las opciones. Hay universidades de primer nivel que brindan excelentes oportunidades de colocación, infraestructura superior y mejoras en las habilidades de comunicación.
Las universidades son
1 NIT, Surathkal
2 universidad profesional encantadora
3 Instituto Nacional de Tecnología Motilal Nehru, Allahabad
4 Universidad de Ingeniería y Ciencia de Bengala, Shibpur, Howrah.
Algunas de las universidades anteriores brindan becas sobre su rendimiento académico.