El campo eléctrico / magnético (y la función de onda mecánica cuántica) de un fotón se puede describir como una onda plana (iré 1D por simplicidad):
[matemáticas] \ psi = e ^ {2 \ pi i (x / \ lambda – ft)} [/ matemáticas].
Esto es en realidad una onda seno / coseno, debido a las extrañas propiedades de la unidad imaginaria [matemáticas] i [/ matemáticas]. Para encontrar la energía de un fotón, uno debe usar la ecuación de Maxwell de la teoría de campo cuántico, pero tomaremos un atajo y usaremos la ecuación de Scrödinger, que produce el mismo resultado y muestra el principio:
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[matemáticas] i \ hbar \ frac {\ partial \ psi} {\ partial t} = \ hat {H} \ psi [/ matemáticas].
El operador [math] \ hat {H} [/ math] proporciona la energía total de la función de onda siempre que no haya dependencia del tiempo en la ecuación de Schrödinger:
[matemáticas] \ hat {H} \ psi = E \ psi [/ matemáticas].
Probémoslo en la función de onda de nuestro fotón.
[matemáticas] i \ hbar \ frac {\ partial \ psi} {\ partial t} = i \ hbar \ cdot (-2 \ pi if) \ cdot e ^ {2 \ pi i (x / \ lambda – ft)} [/matemáticas]
[matemáticas] = \ hbar \ cdot 2 \ pi f \ psi = hf \ psi [/ matemáticas].
Comparando esto con las ecuaciones anteriores, encontramos que [matemáticas] E = hf [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que la derivación no es muy rigurosa. Históricamente, la relación energía-frecuencia se encontró primero, y se crearon ecuaciones (como la ecuación de Scrödinger) para incorporar este hecho. En realidad, se podría decir que la relación [matemática] E = hf [/ matemática] inició la mecánica cuántica, ya que Max Planck comenzó a utilizar la cuantización en fotones alrededor de 1900, utilizando [matemática] E = hf [/ matemática] en su teoría de la radiación térmica.
