Sí, tiene que haber al menos una raíz real.
Es bastante fácil imaginarlo usando un gráfico vago de cualquier polinomio arbitrario (puede dibujarlo usted mismo para comprenderlo)
Un polinomio con coeficientes reales y un orden impar significa que la potencia más alta es un número impar, por lo que cuando el valor de la variable independiente (x) tendería hacia el infinito negativo, el valor total del polinomio también tendería hacia el infinito negativo debido a un valor impar. multiplicaciones por la mayor potencia. Mientras que cuando el valor de x tenderá hacia el infinito positivo, el valor del polinomio eventualmente tenderá hacia el infinito positivo.
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Ahora, un polinomio con cualquier orden y coeficientes reales es continuo en todo el conjunto real, por lo tanto, viajando de infinito positivo a infinito negativo, la gráfica de la función tendrá la cruz del eje X al menos una vez y eso eventualmente sería una raíz real .
Espero que la explicación haya sido útil, ¡gracias! ☺
