En realidad, responderé la pregunta opuesta de lo que Avinash Raju trató en su respuesta. Estoy interpretando la pregunta del OP como: si dos métricas en el mismo múltiple liso tienen la misma curvatura, ¿son necesariamente isométricas?
La respuesta es sorprendente: en dos dimensiones, la respuesta es no , mientras que en las dimensiones superiores, la respuesta suele ser sí . ¿Sorprendido?
Dos dimensiones:
- En relatividad, ¿cómo sabemos qué objetos ganan masa cuando viajan a velocidades relativistas?
- ¿Cuáles serían las repercusiones de que la gravedad se apague durante 1 segundo? ¿Alguna criatura viviente se vería profundamente afectada? ¿Se detendría el tiempo también?
- ¿La escala de gravedad es invariante?
- Si, para un observador externo, el horizonte de sucesos de un agujero negro permanece para siempre en el futuro, ¿cómo podría caer ese observador a través de dicho horizonte de sucesos?
- ¿Existe una analogía simple que pueda explicar la teoría general de la relatividad?
La respuesta es un rotundo no .
En primer lugar, definitivamente no hay necesidad de que las métricas sean globalmente isométricas.
[Fuente: ecuación de un toro en Math StackExchange ]
Para cualquier [matemática] a> 0 [/ matemática] la métrica [matemática] dx ^ 2 + a \, dy ^ 2 [/ matemática] en [matemática] \ mathbb {R} ^ 2 / \ mathbb {Z} ^ 2 [/ math] te da un toro plano; es decir, una rosquilla cuya curvatura es cero en todas partes. Puedes pensar que esta familia mantiene constante la longitud púrpura pero varía la longitud del lazo rojo. Esos definitivamente no son globalmente isométricos (por ejemplo, tienen diferentes áreas).
Las rosquillas de arriba serán localmente isométricas (todas se ven planas en un plano plano en vecindarios pequeños), entonces, ¿hay alguna posibilidad de que puedas probar la isometría local ?
La respuesta a esta pregunta también es no . El helicoide
[matemáticas] x = r \, \ cos \ theta, \; y = r \, \ sin \ theta, \; z = \ theta [/ math]
tiene la misma curvatura seccional que la superficie con cuernos
[matemáticas] x = r \, \ cos \ theta, \; y = r \, \ sin \ theta, \; z = \ log r [/ math]
pero no son localmente isométricos.
[Fuente: http://www.wolframalpha.com/ ]
De hecho, la respuesta no es casi siempre en el caso bidimensional (cuando la curvatura no es constante), por un argumento debido a Weinstein.
Dimensiones superiores:
En cuatro dimensiones y más, la respuesta es sí + globalmente (!) Cuando la curvatura no es constante. Esto fue demostrado por Kulkani en los años 70.
¿Qué pasa con n = 3? El caso tridimensional es algo especial en realidad: la respuesta es no en la configuración no compacta, pero sí + globalmente (!) En la configuración compacta cuando la curvatura no es constante. Esto fue demostrado por Shing-Tung Yau en los años 70.
Si eres como yo, te estarás preguntando:
P: ¿No es extraño que esto se mantenga en altas dimensiones pero no en bajas?
A: en realidad no. Hagamos un recuento. El tensor de curvatura tiene [math] n ^ 2 (n ^ 2-1) / 12 [/ math] componentes independientes, mientras que la métrica tiene [math] n (n + 1) / 2 [/ math] componentes independientes.
En altas dimensiones, la prescripción de la curvatura seccional es un sistema de PDE ridículamente sobredeterminado, por lo que debe esperar que si tiene la suerte de tener una solución, se determinará de manera muy rígida (es decir, métricas únicas). En dimensiones bajas (n = 2) el sistema está subdeterminado. Curiosamente, este método de conteo también sugiere que [math] n = 3 [/ math] es sensible.
P: ¿Por qué sigo excluyendo los casos de curvatura constante?
A: Porque no son interesantes. Siempre obtienes isometría local por razones estándar (ver Forma del espacio), pero no obtienes isometría global por la misma razón que con mis ejemplos de toro.
Referencias
Nada en mi publicación es “original” porque esta pregunta es bien conocida y se ha resuelto completamente por ahora y los resultados son familiares para las personas que realizan investigaciones en esta área. Modelé mi respuesta después de estas dos URL de referencia:
– ¿La curvatura determina la métrica?
– Ejemplos de superficies no isométricas que tienen la misma función de curvatura.
– ¿Es la curvatura escalar la única invariante isométrica de un múltiple de Riemann? (No usé esto, pero la respuesta de Robert Bryant es interesante).
PD: reemplacé su tensor de curvatura de Riemann con la curvatura seccional; es moralmente mejor mirar esta cantidad independiente de coordenadas en lugar del tensor de curvatura de Riemann, ya que de todos modos codifica la misma información.
PPS: Me mantengo alejado de los símbolos de Christoffel, parte de la pregunta, ya que no son tensoriales, por lo que parte de la pregunta está más o menos mal planteada.
