¿La escala de gravedad es invariante?

Ni el tensor de Ricci ni su traza son invariantes de escala: ambos se transforman de manera no trivial bajo una transformación de escala de la métrica.

Entonces el tensor de Einstein no es invariante de escala.

Por lo tanto, la gravedad de Einstein generalmente no es invariante de escala.

Pero el tensor de curvatura de Weyl, que es la parte libre de trazas del tensor de Riemann, es invariante de escala.

Por lo tanto, puede parecer poco claro si un espacio-tiempo de vacío es invariante de escala, ya que en este caso solo hay una curvatura de Weyl. Tal colector es Ricci plano, o dicho de otra manera es un colector Einstein, que es simplemente un colector en el que el tensor de Einstein desaparece, y ya he dicho que el tensor de Weyl es invariante de escala.

Pero una breve consideración de la naturaleza de algunas famosas soluciones de vacío conocidas de las ecuaciones de Einstein, como las soluciones de agujero negro de Schwarzschild o Kerr, dejará en claro que la invariancia de escala puede romperse en las soluciones.

Existe una clase completa de soluciones de equivalencia de las ecuaciones de campo, según el parámetro de masa en la métrica de Schwarzschild, y los parámetros de masa y rotación en la métrica de Kerr.

Entonces, mi intuición muy fuerte es decir que un espacio-tiempo de vacío genérico, a pesar de que solo tenga una curvatura de Weyl, digamos debido a ondas gravitacionales y agujeros negros, romperá la invariancia de escala: siempre podríamos elegir un agujero negro dado en el espacio-tiempo y usarlo su masa como la elección del parámetro de escala, a pesar de que la curvatura de Weyl sigue siendo invariante en escala general.

Entonces, en este sentido, ni siquiera la gravedad pura de Einstein es invariante en escala.

Sin embargo, existen teorías gravitacionales, como la gravedad conforme invariable de Weyl, que incluye las ecuaciones de Maxwell, que en realidad son invariantes de escala. Sin embargo, esta teoría se basa en una geometría no riemanniana.

Permítanme intentar una respuesta muy corta: la gravedad no es invariante de escala, porque para caracterizar sus propiedades debe especificar una escala.

Hay varias formas de ver esto. Una es notar que la constante gravitacional de Newton [matemática] G [/ matemática] puede combinarse con las constantes fundamentales de la relatividad ([matemática] c [/ matemática], la velocidad de la luz en el vacío) y la mecánica cuántica ([matemática] \ hbar [/ math], constante reducida de Planck), para obtener una escala de distancia, llamada longitud de Planck:

[matemáticas] \ ell _ {\ rm Pl} \ equiv \ sqrt {\ frac {\ hbar G} {c ^ 3}} \ simeq 1.6 \ times 10 ^ {- 35} ~ \ hbox {m} ~. [/ math ]

Imagine aumentar esta escala aumentando el valor de [math] G [/ math] mientras mantiene [math] c [/ math] y [math] \ hbar [/ math] fijo. Entonces el Universo se vería diferente: la gravedad sería más fuerte en comparación con las otras fuerzas fundamentales, los cables que sostienen los puentes colgantes se romperían, etc. Esto es ciertamente una violación de la “invariancia de escala”.