¿Cómo abordaría la resolución de [matemáticas] x [/ matemáticas] cuando [matemáticas] 2 ^ {x-4} = x + 12 [/ matemáticas]? Podemos suponer que [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas]

Solo tenga en cuenta que [matemática] 2 ^ {x-4} [/ matemática] es exponencial en [matemática] x [/ matemática], mientras que [matemática] x + 12 [/ matemática] es lineal en [matemática] x [/ matemática ] Entonces, la expresión de la izquierda crece mucho más rápido que la de la derecha. Luego tenga en cuenta que el lado izquierdo es estrictamente cóncavo, lo que implica que solo hay dos soluciones. Intentar [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] muestra que el lado izquierdo es más pequeño allí, por lo que una solución es positiva y la otra es negativa. Debido a que “exponencial es igual a lineal” rara vez tiene una solución analítica, pasamos a ser numéricos. Todo lo que queda es tomar otro valor donde el lado izquierdo es mayor (por ejemplo, 10). Luego biseque (o si lo desea, use el método de Newton).

Las ecuaciones como esta no se pueden resolver con álgebra simple y, dado que no hay una respuesta obvia, lo más sensato es dibujar un gráfico preciso.

Dibujé y = 2 ^ (x – 12) e y = x + 12 y encontré los puntos de intersección.

Solucionador de ecuaciones:

Solución: x = -12, y = 0 El punto de intersección es (-12, 0)

Solución: x = 8.347, y = 20.35 El punto de intersección es (8.347, 20.35)

Entonces la solución positiva es x = 8.347

(Vale la pena señalar que las gráficas se cruzan nuevamente donde x = -12 pero el valor real de y en la curva es tan pequeño que se cuenta como cero. En realidad es 2 ^ (-24)

Aquí hay un enfoque rápido y sucio:

Entonces, tenemos 2 ^ (x-4) = x + 12.

Si 0 1.

Deje x-4 = y. Entonces la ecuación se puede reformular como 2 ^ y = y + 16, y> 0.

2 ^ 4 = 16 <4 + 16 = 20 y 2 ^ 5 = 32> 5 + 16 = 21. Entonces, la solución será un poco más grande que y = 4 (x = 8.)

Nota: 2 ^ (1/2) es aproximadamente 1.4, 2 ^ (1/4) es aproximadamente 1.2 y 2 ^ (1/8) es aproximadamente 1.1.

Pruebe 2 ^ (4.25), que es aproximadamente 16 * 1.2 = 19.2 Un poco menos de 4.25 + 16 = 20.25.

Ahora intente 2 ^ 4.375, que es aproximadamente 19.2 * 1.1 = 20.12. Muy ligeramente menos de 4.375 + 16 = 20.375.

A la décima más cercana, iría con y = 4.4, que corresponde a x = 8.4.

Este tipo de ecuaciones se puede resolver casi todo el tiempo con métodos de aproximación como el método de Newton, en este caso se puede resolver utilizando una función especial llamada función Lambert W que no solo puede expresar la solución exactamente sino que también puede encontrar todo el complejo soluciones a esta ecuación que serían muy difíciles usando métodos de aproximación.

[matemáticas] x + 12 = 2 ^ {x-4} [/ matemáticas]

[matemáticas] x + 12 = \ dfrac {2 ^ {x + 12}} {2 ^ {16}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {x + 12} {2 ^ {x + 12}} = \ dfrac {1} {2 ^ {16}} [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 12) e ^ {- \ ln (2) (x + 12)} = \ dfrac {1} {2 ^ {16}} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ ln (2) (x + 12) e ^ {- \ ln (2) (x + 12)} = – \ dfrac {\ ln (2)} {2 ^ {16}} [/ matemáticas ]

[matemáticas] – \ ln (2) (x + 12) = W_n \ left (- \ dfrac {\ ln (2)} {2 ^ {16}} \ right) [/ math]

[matemáticas] – \ ln (2) x = W_n \ left (- \ dfrac {\ ln (2)} {2 ^ {16}} \ right) +12 \ ln (2) [/ math]

[matemáticas] x = – \ dfrac {W_n \ left (- \ dfrac {\ ln (2)} {2 ^ {16}} \ right) +12 \ ln (2)} {\ ln (2)} \ hspace {10mm} n \ in \ mathbb {Z} [/ math]

Donde [math] W (x) [/ math] es la función Lambert W y [math] W_n (z) [/ math] es la rama [math] n ^ {\ text {th}} [/ math] de su Continuación Analítica

Comprobando las dos ramas de valor real que obtuve:

[matemáticas] – \ dfrac {W_0 \ left (- \ dfrac {\ ln (2)} {2 ^ {16}} \ right) +12 \ ln (2)} {\ ln (2)} \ aprox -11.999984741049 [/matemáticas]

[matemáticas] – \ dfrac {W _ {- 1} \ left (- \ dfrac {\ ln (2)} {2 ^ {16}} \ right) +12 \ ln (2)} {\ ln (2)} \ aproximadamente 8.34672466903225 [/ matemáticas]

Hay infinitas otras soluciones de valor complejo, pero si solo desea las soluciones reales positivas, solo podemos elegir [matemáticas] x \ aprox 8.34672466903225 [/ matemáticas]

Espero que esto ayude 🙂

Este tipo de ecuación se puede resolver utilizando la función Lambert W.

Hacer un cambio de variables x = -12 + y. Luego, mediante algunos cálculos cortos, encontrará que su ecuación es

[matemáticas] 2 ^ {- 16 + y} = y [/ matemáticas]

que se puede reorganizar como

[matemáticas] -2 ^ {- 16} \ ln (2) = – \ ln (2) ye ^ {- \ ln (2) y}. [/ matemáticas]

Aplicar la función Lambert W a ambos lados da

[matemáticas] W (- \ ln (2) / 2 ^ {16}) = – \ ln (2) y. [/ matemáticas]

Sustituyendo x de nuevo en da

[matemáticas] x = -12- W (- \ ln (2) / 2 ^ {16}) / \ ln (2). [/ matemáticas]

Las dos soluciones del gráfico de Nama Iazi corresponden a diferentes ramas de la función W.

Descomponerlo:

[matemáticas] 2 ^ {x-4} = x + 12 [/ matemáticas]

[matemáticas] (2 ^ x) * (2 ^ {- 4}) = x + 12 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0.0625 * (2 ^ x) = x + 12 [/ matemáticas]

[matemáticas] 16 * (0.0625 * (2 ^ x)) = x * 16 + 12 * 16 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ x – 16x = 192 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ x – 16x – 192 = 0 [/ matemáticas]

x ~ = 8.34672 (y luego estoy sin dígitos significativos)