Un espacio euclidiano es similar a un espacio vectorial de dimensión finita, la principal diferencia es que este último tiene un origen y un sistema de coordenadas específicos. Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial con un producto interno y una métrica completa que podría ser de dimensión finita o de dimensión infinita. La mayoría de las veces cuando te refieres a algo como un espacio de Hilbert, es de dimensión infinita.
La dimensionalidad (ya sea 2 o 3 o infinito) no depende de cómo se ve un vector (cómo se escribe el “vector real”) sino más bien de cuán grande es el conjunto de vectores posibles y cómo están organizados geométricamente. Por ejemplo, todos los siguientes son espacios vectoriales reales tridimensionales:
A: el conjunto de tres tuplas de números reales.
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B: el conjunto de cuatro tuplas de números reales donde el último está limitado a cero.
C: el conjunto de funciones polinómicas en el intervalo unitario de grado como máximo dos.
D: el conjunto de funciones periódicas en la línea real con período uno y ancho de banda como máximo uno.
Si bien la mayoría de los espacios de Hilbert se visualizan en términos de funciones integrables al cuadrado en un conjunto con una medida, una secuencia infinita de coordenadas sumables al cuadrado también es un espacio de Hilbert, y puede relacionar uno con el otro simplemente eligiendo un conjunto infinito de bases funciones para resumir con los pesos de coordenadas.
