Implícitamente, la función de onda ciertamente estaba haciendo uso del espacio de Hilbert, ya sea explícitamente declarado o no. La función de onda vive en un espacio de Hilbert, no hay duda al respecto. En este contexto específico, representamos un estado cuántico abstracto [matemático] | \ psi \ rangle [/ matemático] en cierta base, la base de posición, escribiéndolo como una superposición de estados propios de un operador hermitiano, el operador de posición, [matemáticas] \ hat {x} [/ matemáticas].
Los estados propios del operador de posición: estados localizados en alguna posición [matemática] x ‘[/ matemática] que denotaremos [matemática] | x’ \ rangle [/ matemática] son funciones delta cuando se representan en esta base:
[matemáticas] | x ‘\ rangle \ to \ delta (xx’) [/ matemáticas]
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La flecha significa que esta es una representación de un estado abstracto en una base específica. Un signo igual no tendría sentido aquí.
Aquí está la combinación lineal que nos da nuestro estado [matemáticas] | \ psi \ rangle [/ matemáticas] (escribiré tanto en la notación abstracta como en la base de la posición):
[matemáticas] | \ psi \ rangle = \ int dx ‘| x’ \ rangle \ langle x ‘| \ psi \ rangle [/ matemáticas]
[matemáticas] \ psi (x) = \ int dx ‘\ delta (xx’) \ psi (x ‘) [/ matemáticas]
