¿Qué significa realmente que un estado cuántico esté en el espacio de Hilbert?

Este es, en muchos sentidos, el postulado básico de la mecánica cuántica: que los estados viven en espacios de Hilbert. ¿Entonces que significa eso? Recordemos primero algunas mecánicas clásicas, de modo que el razonamiento detrás de los espacios de Hilbert parece un poco menos arbitrario. Sin embargo, pase lo que pase, parecerá algo arbitrario porque lo estamos declarando como un axioma, mientras que, en realidad, a muchas personas realmente inteligentes les tomó varios años darse cuenta de que esto es lo que está sucediendo. De todos modos, sigamos adelante.

Recordemos que en la mecánica clásica tenemos las dos nociones relacionadas de un espacio de configuración y un espacio de fase. Primero consideremos qué es un espacio de configuración y luego sigamos. Un espacio de configuración para un sistema dado es exactamente lo que parece: el espacio de posibles configuraciones de ese sistema. Este es un espacio abstracto y tiene poco que ver con el “espacio físico”, es decir, el espacio y el tiempo. Supongamos que nuestro sistema consta de partículas de tres puntos, sin restricciones (por lo que son partículas “libres”). Cualquier configuración de este sistema en un momento dado puede describirse utilizando 9 números: las tres coordenadas espaciales para cada una de las tres partículas libres. Por lo tanto, nuestro espacio de configuración es un espacio abstracto de 9 dimensiones. Si me das 9 números, puedo decirte en qué configuración está el sistema (siempre que hayamos acordado qué números corresponden a qué coordenadas (x, y, o z) para qué partículas). Cada conjunto de 9 números corresponde a un punto en el espacio de configuración. Es decir, cada configuración individual corresponde precisamente a un punto en este espacio abstracto.

Claramente, si el sistema tuviera 4 partículas, el espacio de configuración sería de 12 dimensiones, ya que ahora necesito tantos números para describir cada configuración. Con 20 partículas, el espacio de configuración es de 60 dimensiones (no se preocupe, nadie puede visualizar estas cosas). Ahora, la dinámica del sistema dado está codificada en la especificación de cómo se mueven los puntos en el espacio de configuración. Supongamos que inicio mi sistema con alguna configuración, de modo que inicialmente esté en algún punto P en nuestro gigantesco espacio de configuración. Tal vez nuestro sistema esté sujeto a alguna fuerza o algo, y en un momento posterior se habrá movido de algún punto P a algún punto Q. Al hacerlo, habrá trazado una trayectoria en el espacio de configuración. Tenga en cuenta que esto tiene poco que ver con las trayectorias físicas de las partículas mismas; esta es una trayectoria en un espacio abstracto. Además, esta trayectoria está parametrizada por algo que llamamos tiempo. Si el sistema está restringido de alguna manera (por ejemplo, si las partículas están obligadas a moverse a lo largo de una esfera), entonces el espacio de configuración se hará más pequeño (o podemos pensar en esto como las partes disponibles del espacio de configuración cada vez más pequeñas). Cada sistema, con sus respectivas restricciones, tiene su propio espacio de configuración.

Lo mismo ocurre con lo que se llama espacio de fase, solo que ahora también incluimos el momento (es decir, las velocidades) de cada partícula. Por lo tanto, cada partícula ahora está especificada por 6 números: 3 para su posición y 3 para su impulso (que puede apuntar en cualquier combinación de tres direcciones). Entonces, si nuestro sistema tiene N partículas, entonces su espacio de fase tiene dimensiones 6N, especificando la posición y el momento de cada partícula. La “dinámica” se codifica en este espacio, donde si te entrego un punto inicial en el espacio de fase junto con las ecuaciones de movimiento que el sistema obedece, puedes decirme dónde estará el sistema (en el espacio de fase) más adelante. . Una vez más, cada sistema tiene un espacio de fase “propio”. Además, todo lo que podríamos querer saber sobre el sistema proviene de nuestro conocimiento de su ubicación en el espacio de fase, ya que cualquier cosa que podamos medir (energía, momento angular, etc.) es una función de su posición y momento. Por lo tanto, todo el “estado” del sistema está codificado por su punto en el espacio de fase.

Ahora volvamos a la mecánica cuántica. El postulado básico de QM es que los estados físicos ahora están completamente codificados por su “punto” en un espacio de Hilbert. Cada uno de estos puntos ahora tiene la estructura de un vector, porque un espacio de Hilbert es un espacio vectorial (generalmente de dimensión infinita). Sin embargo, así es como debe ser, porque sabemos que necesitamos poder “agregar” estados juntos, porque sabemos que necesitamos modelar superposiciones de estados. El espacio de fase claramente no puede funcionar para esto, porque no hay una forma clara de describir una superposición en ese marco. Sin embargo, casi todo lo demás se transfiere de manera análoga, con las modificaciones adecuadas cuando es necesario. Cada sistema tiene su propio espacio Hilbert, que codifica “todos los estados posibles del sistema”. Si me das un estado en un momento inicial, es decir, un vector inicial en el espacio Hilbert de ese sistema, y ​​si me das sus ecuaciones de movimiento (por ejemplo, la ecuación de Schrodinger), entonces puedo decirte cómo ese vector se “moverá” en Espacio de Hilbert, de la misma manera que puedo decirte cómo se mueve un punto en el espacio de fase en el marco clásico. Ahora, sin embargo, las cosas son diferentes cuando queremos hablar sobre cómo obtener cantidades medibles, y descubrimos que necesitamos hablar sobre operadores hermitianos que actúan en el espacio Hilbert de un sistema y los valores de expectativa, y proyecciones en vectores propios, etc., pero eso no era parte de la pregunta, así que no abriré esa lata de gusanos (a menos que quieras que lo haga, aunque en realidad no es tan interesante y más que técnico (en mi opinión)).

Entonces, para recapitular, cada sistema tiene su propio espacio Hilbert de la misma manera que cada sistema clásico tiene su propio espacio de fase (o configuración). Este espacio codifica “todos los estados posibles del sistema”, y la “dinámica” se modela a través de rutas que los puntos atraviesan este espacio abstracto. La principal diferencia es que un espacio de Hilbert tiene una estructura de espacio vectorial, por lo que podemos hablar sobre superposiciones lineales de estados (que es posiblemente el concepto más importante en QM), sobre estados duales (vea esta pregunta / respuesta: ¿Cómo exactamente interpretar físicamente un “sostén”?), y sobre otros fenómenos fundamentalmente cuánticos. Por lo tanto, todos los estados cuánticos están en un espacio de Hilbert, es decir, no tienen la opción de no estar en uno, por definición, y este es el tipo de imagen que uno podría tener en mente.

¡Espero que eso ayude, y espero que realmente responda la pregunta!

Cuando se discuten las partículas enredadas, uno tiene que usar un producto tensor, aparentemente porque se usa un espacio de Hilbert diferente para describir cada partícula. ¿Por qué se utilizan dos espacios de Hilbert diferentes?